Développement limités

[Anonyme]

Comment fait-on le développement limité de cos(x)sin(x) en Pi/2 ?
Et pourquoi ne peut-on pas dire que artan(x)~1-x^3/3 en 0 donc
arctan(x)-1~-x^3/3 en 0 (apparemment, il faut dire (arctan(x)-1)~-x^3/3 en 0
???
Merci d'avance

[Anonyme]

Clara wrote:
> Comment fait-on le développement limité de cos(x)sin(x) en Pi/2 ?

cos(x)*sin(x) = 1/2 sin(2x). Puis dl du sinus en pi.

> Et pourquoi ne peut-on pas dire que artan(x)~1-x^3/3 en 0 donc
> arctan(x)-1~-x^3/3 en 0 (apparemment, il faut dire (arctan(x)-1)~-x^3/3 en 0
> ???

Déjà ce n'est pas 1 mais x.
Tu n'as pas le droit de soustraire les équivalents n'importe comment.
Par exemple n+1 ~ n en +oo, mais il est faux de dire que 1 ~ 0. C'est
sans doute pour cela qu'on insiste sur les parenthèses, même si écrire
arctan(x)-1 et (arctan(x)-1) ne change pas grand chose formellement.

Pour effectuer ce genre d'opération il faut revenir aux petits o :

pour l'arctangente, arctan(x) = x -1/3*x^3 + o(x^3)
donc arctan(x) - x = -1/3*x^3 + o(x^3) et arctan(x) -x ~ -1/3(x^3)
(car o(x^3)/(-1/3*x^3) "=" o(1))

--
albert

[Anonyme]

Merci pour la réponse.
Mais je ne comprends pas comment faire le DL de sinus en Pi (j'étais
persuadé que les dl ne se faisaient qu'en 0...)




"albert junior" a écrit dans le message
de news:4257ecf7$0$10805$626a14ce@news.free.fr...
> Clara wrote:[color=green]
> > Comment fait-on le développement limité de cos(x)sin(x) en Pi/2 ?
>
> cos(x)*sin(x) = 1/2 sin(2x). Puis dl du sinus en pi.
>
> > Et pourquoi ne peut-on pas dire que artan(x)~1-x^3/3 en 0 donc
> > arctan(x)-1~-x^3/3 en 0 (apparemment, il faut dire (arctan(x)-1)~-x^3/3[/color]
en 0[color=green]
> > ???
>
> Déjà ce n'est pas 1 mais x.
> Tu n'as pas le droit de soustraire les équivalents n'importe comment.
> Par exemple n+1 ~ n en +oo, mais il est faux de dire que 1 ~ 0. C'est
> sans doute pour cela qu'on insiste sur les parenthèses, même si écrire
> arctan(x)-1 et (arctan(x)-1) ne change pas grand chose formellement.
>
> Pour effectuer ce genre d'opération il faut revenir aux petits o :
>
> pour l'arctangente, arctan(x) = x -1/3*x^3 + o(x^3)
> donc arctan(x) - x = -1/3*x^3 + o(x^3) et arctan(x) -x ~ -1/3(x^3)
> (car o(x^3)/(-1/3*x^3) "=" o(1))
>
> --
> albert[/color]

[Anonyme]

> Mais je ne comprends pas comment faire le DL de sinus en Pi (j'étais
> persuadé que les dl ne se faisaient qu'en 0...)

Soit avec la formule de Taylor en Pi, soit à l'aide d'une formule de
trigonométrie pour se ramener à un DL en 0 (plus simple):
sin(Pi+h)=-sin(h)...

[Anonyme]

Clara wrote:
> Merci pour la réponse.
> Mais je ne comprends pas comment faire le DL de sinus en Pi (j'étais
> persuadé que les dl ne se faisaient qu'en 0...)

Les dl ne se font pas qu'en zéro ! En particulier si ta fonction est
C^oo en un point a alors elle admet un dl à l'ordre n aussi grand que tu
veux en ce point, qui est donné par : Somme des f'(a)*(x-a)^k /k!
(formule de Taylor).

Ici, deux possibilités (au moins) : calculer les dérivées du sinus en pi
(c'est cyclique...), où se ramener au dl en 0 par le changement de
variable x =pi-t, puis sin(pi-t)=-sin(t), puis dl en 0 selon t.

--
albert

[Anonyme]

Clara wrote:
> Merci pour la réponse.
> Mais je ne comprends pas comment faire le DL de sinus en Pi (j'étais
> persuadé que les dl ne se faisaient qu'en 0...)

Les dl ne se font pas qu'en zéro ! En particulier si ta fonction est
C^oo en un point a alors elle admet un dl à l'ordre n aussi grand que tu
veux en ce point, qui est donné par : Somme des f'(a)*(x-a)^k /k!
(formule de Taylor).

Ici, deux possibilités (au moins) : calculer les dérivées du sinus en pi
(c'est cyclique...), où se ramener au dl en 0 par le changement de
variable x =pi-t, puis sin(pi-t)=sin(t), puis dl en 0 selon t.

--
albert

[Anonyme]

OK. Mais on peut bien multiplier des DL entre eux.
Dans ce cas, on aurait en Pi/2 cosx*sinx ~ 1*sinx et en Pi/2,
sinx~0-[(x-Pi/2)^2]/2 *1
Je ne retrouve pas Pi/2 - x (ce que je trouve en utilisant les formules
trigo)
Pouvez-vous m'expliquer? Les DL ont toujours été une galère pour moi...




"albert junior" a écrit dans le message
de news:425ac182$0$6736$626a14ce@news.free.fr...
> Clara wrote:[color=green]
> > Merci pour la réponse.
> > Mais je ne comprends pas comment faire le DL de sinus en Pi (j'étais
> > persuadé que les dl ne se faisaient qu'en 0...)
>
> Les dl ne se font pas qu'en zéro ! En particulier si ta fonction est
> C^oo en un point a alors elle admet un dl à l'ordre n aussi grand que tu
> veux en ce point, qui est donné par : Somme des f'(a)*(x-a)^k /k!
> (formule de Taylor).
>
> Ici, deux possibilités (au moins) : calculer les dérivées du sinus en pi
> (c'est cyclique...), où se ramener au dl en 0 par le changement de
> variable x =pi-t, puis sin(pi-t)=sin(t), puis dl en 0 selon t.
>
> --
> albert
>[/color]