Probabilités

par **DragonF** » 31 Aoû 2007, 18:09

Bonjour à tous.

Je suis ne suis plus au lycée, mais ce problème est du niveau lycée.

J'ai 6 dé numéroté de 1 à 6 et tous ont 6 côtés avec sur chaque côté les chiffres de 1 à 6 (dé traditionnel). Je les lances tous en même temps. Si l'un des dé tombe sur la face correspondante à son numéro, je dois recommencer.

J'aimerai savoir quelle est la probabilité pour que je soit obligé de recommencé à jouer et quelle sera en moyenne, le nombre de lancé que j'effectuerai.

C'est plus le raisonnement qui m'interesse que les résultats chiffrés, car j'aimerai étendre le problème à des dés à n faces et numérotés de 1 à n.

Merci pour votre aide,
DragonF

par **Flodelarab** » 31 Aoû 2007, 18:34

DragonF a écrit:Bonjour à tous.

Je suis ne suis plus au lycée, mais ce problème est du niveau lycée.

J'ai 6 dé numéroté de 1 à 6 et tous ont 6 côtés avec sur chaque côté les chiffres de 1 à 6 (dé traditionnel). Je les lances tous en même temps. Si l'un des dé tombe sur la face correspondante à son numéro, je dois recommencer.

J'aimerai savoir quelle est la probabilité pour que je soit obligé de recommencé à jouer et quelle sera en moyenne, le nombre de lancé que j'effectuerai.

C'est plus le raisonnement qui m'interesse que les résultats chiffrés, car j'aimerai étendre le problème à des dés à n faces et numérotés de 1 à n.

Merci pour votre aide,
DragonF

Calcul la probabilité de perte sur un lancer, puis applique Bernoulli.

cela te parle ?

par **DragonF** » 31 Aoû 2007, 18:43

En fait je viens seulement de me rendre compte que j'ai mal énoncé mon problème. Veuillez m'en excuser.

J'ai en fait un ensemble de 6 entier {1,2,3,4,5,6} et j'effectue à cet ensemble une permutation aléatoire. Si au moins l'un des entier correspond à son rand dans l'ensemble, je recommence. Quel est la probabilité pour que cela arrive ? Et combien de fois en moyenne devrais-je recommencer ?

(Imaginons qu'en effectuant une permutation aléatoire j'obtienne {2,3,1,4,6,5}, 4 est à sa place, donc je recommence.)

Puis la généralisation après pour un ensemble de n entiers.

Et pour Bernoulli et tout cela, cela me rappelle quelque chose, mais j'ai tout oublié de mes probas de terminale S. Pourtant je suis en fac de maths à présent c_c

par **Flodelarab** » 31 Aoû 2007, 19:45

DragonF a écrit:En fait je viens seulement de me rendre compte que j'ai mal énoncé mon problème. Veuillez m'en excuser.

J'ai en fait un ensemble de 6 entier {1,2,3,4,5,6} et j'effectue à cet ensemble une permutation aléatoire. Si au moins l'un des entier correspond à son rand dans l'ensemble, je recommence. Quel est la probabilité pour que cela arrive ? Et combien de fois en moyenne devrais-je recommencer ?

(Imaginons qu'en effectuant une permutation aléatoire j'obtienne {2,3,1,4,6,5}, 4 est à sa place, donc je recommence.)

Puis la généralisation après pour un ensemble de n entiers.

Et pour Bernoulli et tout cela, cela me rappelle quelque chose, mais j'ai tout oublié de mes probas de terminale S. Pourtant je suis en fac de maths à présent c_c

Ben on dénombre tout simplement. C'est important de savoir que ce sont des permutations, car ça change l'outil.

On tire n éléments parmi n dans l'ordre et sans répétitions. Il s'agit d'un arrangement.
Il y a n! dispositions possibles.

Combien demandent de relancer ? ou de ne pas relancer ?
Faut que j'y réfléchisse

@+

par **DragonF** » 31 Aoû 2007, 19:57

Pour un 3-uplet c'est 1/3 et pour un 4-uplet c'est 9/24 qui demande de relancé. Par contre après pour une formule générale j'ai beaucoup de mal.

Ce qui m'interesse par dessus tout, c'est qu'une fois que j'ai cette formule, cela me donne donc la probabilité de devoir recommencé en effectuant une permutation aléatoire. Et j'aimerai donc savoir quelle sera le nombre moyen de permutation aléatoire que je devrais effectué pour arriver à l'arrangement souhaité, c'est à dire, aucun entier n'est à sa place

par **Flodelarab** » 31 Aoû 2007, 23:45

DragonF a écrit:Je crois que c'est 1/n qui demande de relancé.

Alors ça, c'est complétement faux.
Rien que pour ton exemple de 6 éléments, il y a 265 tirages sur 720 qui ne demandent pas de relancer.
soit un pourcentage de 265/720=37% de ne pas relancer
soit un pourcentage de 63% de relancer

La suite est évidente. Ya même pas de Bernoulli.
Le pourcentage de faire k lancers est 0,37x(0,63)^(k-1)
37% de ne pas relancer (1 lancer)
23% de relancer 1 fois (2 lancers)
15% de relancer 2 fois
9% de relancer 3 fois
6% de relancer 4 fois
4% de relancer 5 fois
2% de relancer 6 fois
2% de relancer 7 fois
1% de relancer 8 fois
Et j'arrête là. mais on pourrait continuer à l'infini

Ça fait une moyenne de 2 lancers ...

Pour la généralisation à n éléments, j'ai besoin d'y réfléchir.

Cependant, Je doute fortement de l'énoncé: es tu sur de la permutation ? Quel rapport avec les dés ? Plus de 6 faces ? Un rapport avec le jeu de rôles ?

par **DragonF** » 01 Sep 2007, 00:15

En fait le but est de faire un taquin et de positionner de façon aléatoire les carré sur la grille. J'ai pour cela nommé chaque carré par un nombre entre 1 et 8. Puis j'aimerai mélanger ces carré de façon aléatoire. Mais pour éviter l'éventualité où le taquin apparaitrait dans une position quasiment fini, j'aimerai mélanger les pièces tant qu'il y en a au moins une qui est à sa place d'origine. Le taquin est pour l'instant prévu pour du 3*3, 5*5 et par la suite 10*10. Pour du 3*3 ce n'est pas trop un soucis de mélanger jusqu'à ce que ce soit en place, c'est pour le taquin 10*10 que je me fais du soucis. Je n'aimerai pas que mon script mélange pendant 10 min jusqu'à ce qu'il ai trouvé un arrangement qui convient. C'est pour cela que je cherche à savoir quelle est en moyenne le nombre de permutation aléatoire qu'il faut effectué sur un n-uplet pour obtenir le mélange que je désire.

par **Flodelarab** » 01 Sep 2007, 03:16

Ahhhhhhhh très bien :++:

J'ai pas encore pris le temps de généraliser à n.

Mais j'attire ton attention sur un point positif et un point négatif:

Le point positif est que, comme ta dernière case est bien partout, tu pourrais ptet te permettre 1 élément bien placé dans la grille que tu échangerais avec le "trou".
Le point négatif est que le coefficient de désordre de ton taquin doit etre pair ....
Tous les taquins ne sont pas faisables. Pour plus d'infos, lis ce paragraphe

par **DragonF** » 01 Sep 2007, 10:11

Je n'avais pas du tout pensé au point positif. C'est en effet une bonne remarque. Cependant, mon trou est toujours en bas à droite. Cela me facilite la tache pour deux choses : premièrement, pour savoir si la personne a gagné, je n'ai besoin que de vérifier si toutes les cases sont à leur place lorsque la personne déplace les cases à côté du trou, c'est à dire les cases 6 et 8 pour le taquin 3*3. deuxièmement, mon taquin utilisera plusieurs images, et cela me compliquerai un peu la tache d'avoir un trou aléatoire :/ Mais c'est faisable.

Finalement, le point positif deviendrait un point négatif, car les opérations à effectué en plus génèrerait plus de temps d'execution que le simple fait de mélanger quelques fois de plus.

Concernant le point négatif, j'était déjà au courrant, et j'ai déjà programmé la signature. Comme mon trou est toujours en bas à droite, le produit signature *(-1)^(position du trou, c'est à dire 9 pour mon taquin 3*3) est toujours égal à -1*signature - ce qui doit etre constant et égal à -1. Donc une fois que toutes mes cases sont bien mélangé, si ma signature vaut -1, j'inverse les cases 1 et 2 pour rendre mon taquin soluble et le tour est joué.

par **Flodelarab** » 01 Sep 2007, 12:02

DragonF a écrit:Cela me facilite la tache pour deux choses : premièrement, pour savoir si la personne a gagné

Ça n'a rien à voir. On est en train de parler du point de départ.

DragonF a écrit:je n'ai besoin que de vérifier si toutes les cases sont à leur place lorsque la personne déplace les cases à côté du trou, c'est à dire les cases 6 et 8 pour le taquin 3*3.

:doh: :hein:
321
546
78
Ai-je gagné ?

DragonF a écrit:cela me compliquerai un peu la tache d'avoir un trou aléatoire

c'est pas un trou aléatoire. C'est un trou qui remplace une pièce bien placée alors qu'on en veut pas au départ.

DragonF a écrit:Concernant le point négatif, j'était déjà au courrant

bien bien.

par **DragonF** » 01 Sep 2007, 12:43

Je crois que je n'ai pas été clair dans mon explication concernant le premier point ^^

Si mon trou est en bas à droite, je sais que la personne gagnera en déplacant la case 6 ou la case 8. Donc quand la personne déplace les autres cases, je n'ai pas besoin de vérifier si toutes les cases sont à leur place pour savoir si il a gagné.

Je je place mon trou là où le mélange aurais laissé une case à sa place, cela compliquerai beaucoup la tache et le plus simple serai de vérifier à chaque coup si toutes les cases sont bien à leur place.

Sinon pour revenir au véritable problème, as tu réussis à trouvé une formule donnant le pourcentage de fois où je devrais remélanger afin d'obtenir une grille bien mélangé, afin de savoir ensuite quelle sera en moyenne le nombre de fois où je devrais mélanger le taquin n*n ?

par **yos** » 01 Sep 2007, 12:57

Bonjour.
Parmi les n! permutations de n éléments, certaines ne laissent aucun élément fixe, on les appelle les dérangements. Leur nombre est l'entier le plus proche de n!/e (avec e=2,718...), d'ailleurs n!/e est presque un entier.
Si cela peut t'aider...

par **Flodelarab** » 01 Sep 2007, 13:08

:++: Super !

On a donc une proba a chaque tour de ne pas relancer de (n²-1)!/(e(n²-1)!)=1/e
On retombe sur environ 37% déjà détaillé plus haut.

Tu devras donc faire 2 mélanges en moyenne.

par **Flodelarab** » 01 Sep 2007, 13:18

:++: Super !

On a donc une proba a chaque tour de ne pas relancer de (n²-1)!/(e(n²-1)!)=1/e
On retombe sur environ 37% déjà détaillé plus haut.

Tu devras donc faire 2 mélanges en moyenne.

par **DragonF** » 01 Sep 2007, 18:01

Excellent ! J'ai fait une étude statistique avec mon programme en réessayant 100 000 fois, et en faisant une moyenne, je tombe sur 3.006

Pour le (n²-1)!/e(n²-1)! je ne comprends pas... S'il y a n!/e permutation sur n! qui demandent de relancer, alors on fait n!/e * 1/n! pour trouver un pourcentage de 1/e soit 0.367%

EDIT : ok je viens de comprendre. le taquin fait n*n moins une case. Donc n²-1^^

En tout cas, c'est fou le n!/e. Je pense que je n'ai pas encore le niveau de comprendre d'où sort ce e...

Merci beaucoup à vous deux en tout cas. Ce fut un échange très intéressant =)

A bientôt pour un nouveau problème tordu ^^
DragonF

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