Controles 1ere S

[anima]

Mon livre de math ne mentionne pas le terme de quantité conjuguée, d'ailleurs il n'y a pas de cours dessus sur les sites de math que je connais, peux tu m'expliquer ce que c'est ?
Sinon j'ai tenté cela pour le b) :
Démontrer que 2 - U_(n+1) 2 donc l'inégalité est vérifiée.
On remarque avec cette inégalité que lorsque n tend vers l'infini, alors 2-Un+1 tend vers 0 c'est à aidre que u_(n+1) tend vers 0 donc la suite converge vers le réel 2.

La quantité conjuguée permet de passer d'un denominateur pas gentil a un gentil. Exemple, si tu as A/(b-c), la quantité conjuguée de (b-c) est (b+c). On multiplie en bas et en haut par ca, et ca fait...
A(b+c)/(b^2-c^2)

Ca a l'avantage d'enlever toute racine et est (tu verras) tres utile pour les complexes, pour se retrouver avec un dénominateur réel.

[lapras]

d'accord je comprend !
ca permet d'éliminer les méchans imaginaires :ptdr:
c'est vraiment super utile.

[lapras]

Pour le 3eme exo, je ne le fait pas car j'en ai déja fait beaucoup des comme ca : somme d'une suite géométrique ou arithmétique, derterminer n en fonction de l'énoncé trouver u0 en résolvant S = La somme donné par l'énoncé.

le dernier m'interresse :we:
Je ne vois pas trop a quoi sert le a) ?
j'ai quand meme fait le b) :
Soit Un = a*u_(n-1)²
calculons les premiers termes :
n=0 :
U0 = 1
n=1 :
U1 = a
U2 = a*a² = a^3
U3 = a*(a*a²)² = a^7
U4 = a^15
U5 = a^31
...
on remarque 7 = 1 + 2 + 4 et que 15 = 7 + 8 = 1 + 2 + 4 + 8 et que 31 = 15 + 16 = 1 + 2 + 4 +8 + 16
donc que au rang n l'exposant de a sera de 2^0 + ... + 2^(n-1) = 2^n - 1

la suite Un est donc
Un = a^(2^n - 1)

[sandrine_guillerme]

Moi en 2nde, j'ai revu les identités remarquables. :zen:

Bah quoi c'est bien aussi. :doh:

Rain' t'es le contre exemple du théorème :
Ceux qui voient un programme riche réussissent les études supérieur plus facilement ..

Je vais le signaler à Bertrand Hauchecorne qui a sorti une nouvelle édition (que je vien d'acheter aujourd'hui) Les contres exemples en math .

Amicalement.

[B_J]

la suite Un est donc
Un = a^(2^n - 1)

oui c'est ca :++:
pour le a) tu dois trouver b=-1 et v_n=2^n ; (v_0=1)

[lapras]

Okay.
Merci pour tes exos sur les suites, ils étaient sympathiques :zen:
je vais désormais faire tes exos sur les limites !
(ah oui j'ai oublié, es ce que j'ai eu bon au 2eme exercice ?)

[B_J]

Posté par lapras
Il faut voir avec les diviseurs de 7^3 :
7^3 = 7 * 49
7^3 = 7^3 * 1
donc
n = 7^3 ou n = 1. Si on choisi n=1 : x + 1 - 1= 343, donc x = 343 ou bien
7^3+n-1 = 1
n = 2 - 7^3 = -341

ou bien

n=7 ou n=49
on refait la meme opération que précédemment

pourquoi distinguer 2 cas (7^3 = 7 * 49 ; 7^3 = 7^3 * 1)?
les diviseurs de 7^3 sont 1 , 7 , 7^2 et 7^3
n=1 ---> un seul terme x=343
n=7 ---> x=43 ce qui donne la suite 43,45,47,49,51,53
n=7^2=49 --->x=-41 ce qui donne la suite -41,-39,...,-1,+1,...,+41
etc
mais c'est bien tu as compris le principe :++:

oui tu as bon

[lapras]

je voulais dire es ce que j'ai bon au b) de l'exo 1) (voir post en haut de la page 7).

[B_J]

Salut;
l'inegalité montrée en b) ne permet pas de conclure a la convergence de la suite u_n vers le reel 2
neanmoins , tu sais que
il faut montrer par recurrence que
puis conclure

[lapras]

J'ai vérifié, ca marche au rang 1.
au rang n+1 il faut vérifier que
2-U(n+1) < (2-SQRT(2))/2^(n-1)
je prouve que Un est une suite croissante, donc que 2-U(n+1) < 2-Un
(la dérivée de y = x - racine(2+x) est décroissante et y = 0 est vérifié pour x =2, or Un <2 donc y > 0 sur [sqrt(2);2[ donc 2-U(n+1) < (2-SQRT(2))/2^(n-1) pour tout n donc l'inégalité est démontrée pour tout n.
la limite de
(2-SQRT(2))/2^(n-1)
n->+OO
est 0
or (2-SQRT(2))/2^(n-1)>2-Un>0
donc
lim(2-Un) = 0
n->+OO

(voir théoreme des gendarmes facilement démontrable)
donc Un converge vers 2



Une chose : dans l'énoncé il n'était pas écrit de vérifier l'inégalité que je viens de démontrer, je ne comprends pas pourquoi.

[B_J]

en fait , tu peut montrer l'inegalité sans utiliser la recurrence

Une chose : dans l'énoncé il n'était pas écrit de vérifier l'inégalité que je viens de démontrer, je ne comprends pas pourquoi.

il fallait la deviner :id:

[lapras]

Ok.
mais sinon, ma derniere réponse est elle bonne ? (avec récurrence)

[B_J]

tu connais le th de la convergence monotone ? ( toute suite croissante majorée converge vers sa borne sup ...etc )
sinon je ne compends pas bien ton raisonnement :triste:

[lapras]

Non je ne connais pas ce théoreme.
Mon raisonnement :
prouver que Un est croissante (c pas dur lol), et donc que
2-U(n+1) < 2 - Un
donc je prouve l'inégalité :
2-U(n+1)<2-un<(2-SQRT(2))/2^(n-1)

donc
0<2-un<(2-SQRT(2))/2^(n-1)
la limite de (2-SQRT(2))/2^(n-1) est de 0 quand n-> +OO
d'apres le théoreme des gendarmes 2-un tend vers 0
donc Un tend vers 2

[B_J]

comment passes tu de 2-U(n+1) < 2 - Un à 2-U(n+1)<2-un<(2-SQRT(2))/2^(n-1) ( c'est le point le plus important :we: )

[lapras]

bah j'ai dis que por n=1 l'inégalité était vraie
et qu'il faut prouver au rang (n+1).
Je l'ai prouvé en disant que 2-U(n+1) < 2 - Un car 2-Un est < (2-SQRT(2))/2^(n-1)
donc
2-U(n+1) est forcément inférieur à (2-SQRT(2))/2^(n-1)

[B_J]

ok ca marche :++:

[lapras]

Youpee !
je pense que le plus dur était de trouver l'inégalité à démontrer...
je sais pas comment faire pour les trrouver facilement,
je pense qu'il faut se dire : je dois trouver une suite qui converge vers 0 et supérieur à 2-Un
mais apres la trouver c'est une autre histoire...

[B_J]

un peu d'entrainement suffit en general :we:
sinon , pour la croissance de (u_n) , 2-U(n+1) < [2 - Un ]/2 ( et non 2-U(n+1) < 2 - Un :we: ) donne immediatement le resultat ( puisque [2 - Un ]/2 < 2 - Un car 2-Un >0 )

[lapras]

Y'a pas un théoreme qui dit que :
"soit Un une suite, si Un est majorée par a et que Un est strictement croissante, alors Un converge par a."