Question de surjectivité!!

[guigui777]

f appartient à L(E,F) dimE f ne peut etre surjective! pourquoi....
pourtant la surjectivité c'est bien chaque image admet au moins un antécédant... donc rien n'empêche qu'il y en est trois quattre cinq!
merci!!

[Daniel-Jackson]

Je suppose que c'est en dimension finie .
Donc normalement tu dois connaitre le fait que :

Dim(E) = Dim (Ker(f)) + Dim( Im(f)) . f sujrectif signifie Im(f) = F et donc

Dim( Im(f))= Dim(F) ....donc

[Fanfan]

Bonjour,
La dimension je crois que c'est le nombre de terme de ton ensemble, à verifier.
La définition de la surjectivité c'est que tout élément de l'ensemble d'arrivé possède au moins un élément dans l'ensemble de départ. Or comme il y a moins d'élément dans l'ensemble de départ que dans l'eznsemble d'arrivé, f ne peut etre surjective.
Bon, j'espereque je me trompe pas que quelqu'un pourra confirmer ou corriger.

[alben]

Pour te répondre sur le même registre : ton ensemble de départ est plus petit que celui d'arrivée . Comment tu vas arriver à envoyer autant d'antécédants ...
Il parait que ça s'est fait avec des pains et des poissons autrefois.
Plus sérieusement c'est quoi la dimension de image(f) ?

[guigui777]

oki merci pour vos explications, merci rain notemment, en fait en pratique pour montrer que c'est surjectif, on montre que imf= l'ensemble d'arrivé, ce qui est bien plus simple! merci encore!!
j'ai juste une autre question, on a u et v deux endomorphisme=> im(u+v)=imu+imv
c'est faux d'après ma correction, pourquoi, pourtant des endos, c'est bien linéaire, donc si j'applique la définition de imu et imv.... jvois pas...
(v+u)(x)=u(x)+v(x) non?

[aviateurpilot]

soit les proprietés suivantes:
:" n'est pas surjective"
:" surjective
=>
=>
=>
=> faux

donc vrai => vrai

[guigui777]

en fait pour ma question sur les dimensions c'était le contraire dimE>dimF.... ca peut pas etre injectif ok! pour démontrer que ce n'est pas surjectif, th du rang:
dimE=dimimf+dimkerf ca démontre bien que dimE>dimF si dim kerf>0.... et donc je ne comprend pas pourquoi c'est pas surjectif.... y doit y avoir une erreur... d'ailleur si je prend la contraposée, j'ai dimE

[aviateurpilot]

soit
on a
et

[guigui777]

soit
on a
et

attend imu c'est x, imv c'est -x donc si je fait la somme je ne comprend pas pourquoi j'ai E...

[guigui777]

Im(u+v) c'est l'ensemble des y de F tels qu'il existe un x de E pour lequel (u+v)(x) = y
u(x) + v(x) = y.

Im (u) c'est l'ensemble des y' de F tels qu'il existe x' de E tel que u(x')=y'
Im (v) c'est l'ensemble des y'' de F tels qu'il existe x'' de E tel que v(x'')=y''


Im(u)+Im(v) c'est l'ensemble des z de F de telle sorte qu'il existe y' de Im(u) et y'' de Im(v) et z=y'+y''.

Tu vois que c'est parfois différent ? Essaie de trouver un exemple avec u et v assez simples.

oki jvois la différence

[aviateurpilot]

[guigui777]

Si u(x) = x, Im(u) c'est l'ensemble des y dans E tels que u(x) = y.

Quand x parcourt E, u(x) = x =y donc y parcourt E donc Im(u) = E.

Fais attention Im(U) est un espace vectoriel, x est un vecteur de E. tu ne peux pas dire Im(u) = x ça n'a aucun sens.

oki jvois un peu mieux, mais j'vais continuer a essayer de le bosser c'est pas encore très clair, en tous cas merci!

[guigui777]

C'est la base de l'algèbre linéaire, dès que tu as compris ça tout s'éclaire enfin normalement.

ben pourtant le reste ca va plutot bien, mais y'à encore quelques notions qui restent sombres, comme la surjectivité je comprend ce que c'est mais en pratique je galère pas mal... pour en revenir à cette histoire de imu+imv, en fait c'est la somme de deux espaces vectoriels de E, donc ca donne E, c'est ca? c'est different de la somme de deux fonctions v(x) + u(x)...

[yos]

Ce fil s'égare dans tous les sens alors j'ajoute un peu de confusion :
si dim E>dim F , on peut très bien avoir surjective contrairement à ce que j'ai pu lire plus haut.

[kazeriahm]

plus haut quand guigui prenait dim E > dim F, il disait que f de E dans F ne pouvait etre injective

[kazeriahm]

comme te le disait Rain, u(x), v(x) et u(x)+v(x) sont des vecteurs (des élements de ton espace vectoriel), tandis que Im u et Im v sont des sous espaces vectoriels de E. Si tu as des doutes sur ce que tu fais, reviens aux définitions?

[yos]

plus haut quand guigui prenait dim E > dim F, il disait que f de E dans F ne pouvait etre injective

Dans le message 7 , guigui essaie de prouver avec le th du rang que ça peut pas être surjectif. D'où ma remarque précédente.

[kazeriahm]

i'm so sorry

[guigui777]

u(x) + v(x) = (u+v)(x)

Par contre la somme d'epaces vectoriels c'est différent.

Par exemple : Tu te places dans R²={(x,y)| x€R, y€R}

Soit E la droite d'équation x=0
Soit F la droite d'équation y=0.

E+F c'est quoi ?

dsl du retard!! j'ai eu quelques problèmes de connection, je dirais donc un point...

[kazeriahm]

tu dirais que E+F = un point ?

la somme de deux sous espaces-vectoriels est toujours un sous espace vectoriel, donc ici ton point serait en réalité le singleton {0}, mais ceci est faux.

E={(0,y), y dans R} et F={(x,0), x dans R}

E+F={a+b, a dans E et b dans F}={(0,y)+(x,0), x et y dans R} = ???