Surjectivité et inverse à droite

[jobinmaxime]

Bonjour,

J'ai une démonstration à faire, et je n'y arrive. L'énoncé est : Montrer qu'une fonction f de X -> Y est surjective si et seulement si f admet un
inverse à droite.

Je sais que je dois d'abord démontrer que si f de X -> Y est surjective alors f admet un inverse à droite, et puis démontrer l'autre sens de l'équivalence.

Pour f de X -> Y est surjective alors f admet un inverse à droite, je sais que pour tout y élément de Y, il existe un x élément de X tel que f(x) = y. Mais après je vois pas quoi faire...

Quelqu'un peut m'aider?

Merci!

[alavacommejetepousse]

bonjour
il suffit pour y fixé d e choisir un tel x et de l'appeler g(y)

[jobinmaxime]

Hum... mais encore? :-S

[Doraki]

Ben avec cette définition de g tu peux peut-être montrer que g est un inverse à droite de f.

[jobinmaxime]

Hum... ok je m'essaie à quelque chose. Dites moi si ca a du bon sens.

Soit g : Y -> X, avec y |-> {g(y) = x si f(x) = y i.e. y ;) Im(f)
g(y) = a ;) Y si y n'est pas élément de Im(f)}

Or f est surjective par hypothèse, et donc pour tout y élément de Y, il existe un x élément de X tel que f(x) = y. Donc g(y) = x en tout temps.

On a donc f o g (y) = f(g(y)) = f(x) = y = IdY. f admet donc un inverse à droite. C.Q.F.D.

[alavacommejetepousse]

les 2 premières lignes n'ont aucun sens écrites comme ça
je t'ai donné la solution... ce qui est a peu près ce que tu écris après

[jobinmaxime]

Alors quoi, je fais seulement que définir g : Y -> X, avec g(y) = x? Ce n'est pas utilisé ce qu'on cherche à démontrer pour le démontrer?

[alavacommejetepousse]

je vais essayer de le redire simplement

tout élément y admet au moins un antécédent par f

pour chaque y on en choisit un qui dépend donc de y et qu'on a bien le droit de nommer comme on veut on le nomme donc g(y)

d'où une fonction g il suffit dde déterminer f°g(y) = f(x) avec x l'antécédent par f choisi pour y donc f(x) = y d'où f°g = id et le résultat g est un inverse de f à droite.