Fonction

par **nico2b** » 17 Avr 2007, 16:00

Bonsoir, je n'arrive pas à faire cette exercice.

L'énoncé nous demande de dire si la proposition est vrai ou fausse:

Soif f : [a,b]

a) Vrai ou faux : On a nécessairement que f([a,b]) = [f(a),f(b)]

Intuitivement je penserai que oui mais je ne suis sur de rien...

Merci pour votre aide et vos idées.

par **orangina** » 17 Avr 2007, 16:06

et si tu testes avec une fonction décroissante genre f(x)=-x et un intervalle [-1,1] ? je ne sais pas si ca peut marcher

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 16:13

f([a;b]) = [f(a);f(b)] si et seulement si f est croissante et continue naturellement

Sinon f([a,b]) = [m,M]
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

par **nico2b** » 17 Avr 2007, 16:20

Ok merci pour l'explication

Comme contre exemple je peux prendre alors l'exemple d'orangina à savoir la fonction décroissante f(x) = -x

On a donc f([a,b]) qui s'étend de [-1,1] et [f(a),f(b)] = [1, -1] ?

Parce que ici ce qui diffère c'est que [1, -1] n'est pas "ordonné" donc ça me fait douter.

Joker62 par M et m tu entends maximum et minimum de l'ensemble de l'image de la fonction je supose? pour etre sur lol

Encore merci

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 16:24

Allez :

Alors soit f une fonction de [a;b] dans R

On suppose f non constante sinon, mon copain du CE1 il peut le faire :)
Donc f continue => f possède un minimum et un maximum.

Soit m le minimum de f sur [ab] et M le maximum de f sur [ab]

f continue => il existe x_m dans [ab] tel que f(x_m) = m
de même il existe x_M dans [ab] tel que f(x_M) = M

On a alors f([ab]) = [f(x_m),f(x_M)] = [m;M].

par **Rainbow** » 17 Avr 2007, 16:35

bonjour,
tout d'abord, un epetite remarque sur la première réponse de Joker, le "si et seulement si " est de trop. Si f continue et croissante, alors f([a b])=[f(a) f(b)], mais la réciproque est fausse (il suffit de prendre une fonction qui soit ni croissante ni décroissante, ou alors pas continue.

Maintenant, pour l'exercice d'origine, il y a un paquet de contre exemple. il suffit par exemple de prendre une fonction qui oscille, genre sin(x), avec a=0 b=Pi, tu obtiens f([a,b])=[0,1], et pourtant f(a)=f(b)=0 (et donc [f(a),f(b)]={0} )

par **nico2b** » 17 Avr 2007, 16:41

OK merci à tous pour l'aide

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 17:00

f([a,b]) = [f(a),f(b)] si et seulement si f est croissante et continue.

En effet y'a un problème dans le sens direct
Autant pour moi :)

par **serge75** » 17 Avr 2007, 18:18

Je peux faire le chieur ????
faut écrire : 'au temps pour moi'.
(j'adore l'orthographe quand il devient surréaliste)

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 18:19

Bé en fait, c'est un grand débat ce autant pour moi / au temps pour moi

Il s'écrit de deux façons en fait :^)

par **serge75** » 17 Avr 2007, 18:23

Tu as raison, Joker, et l'usage tend à imposer le 'autant pour moi'... Nez en moins (là ok, c'est faux ! lol), je trouve cette orthographe tellement étonnante qu'elle en est presque belle de débilité.
Je crois qu'en fait il y a une origine historique à cette écriture originelle de 'au temps pour moi' qui est je crois militaire... si quelqu'un a le courage de googleliser...

par **Joker62** » 18 Avr 2007, 13:59

VOilà j'ai googler

qui d'ailleurs est un nouveau mot devenu très courant :

http://www.langue-fr.net/index/A/au_temps-autant.htm

Et donc ça a bien une origine militaire

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