Pb de cauchy

[delphine]

Bonjour, voici l'énoncé qui me pose problème :

1.Soit X = (x,y,z,u) , résoudre le pb de Cauchy suivant:

x'(t) = 4x(t) + 2z(t)
et
y'(t) = 4y(t) + 2u(t)
et
z'(t) = 2x(t) + 2u(t)
et
u'(t) = 2y(t) = 4u(t)
et
X(0) = X0 = (x0,y0,z0,u0)

en posant v=x+z, w=x-z, r=y+u, s=y-u

2. soit la matrice A=
4 0 2 0
0 4 0 2
2 0 4 0
0 2 0 4
En déduire exp(tA) (on ne calculera pas les valeurs propres de A)

Merci d'avance !

[cesar]

et
u'(t) = 2y(t) = 4u(t)

etes vous sure de cette relation ???

pour le 2eme je vous propose la methode suivante (à vous de la faire, si elle vous plait).
la matrice tA (et non pas la matrice de A) est racine de son polynome minimal ou bien de son polynome caractéristique (de degres 4, celui que vous utilisez pour calculer les valeurs propres de A). vous pouvez donc ecrire (t*A)*(t*A)*(t*A)*(t*A) sous forme d'un polynome de degre 3 maximum, le terme constant etant un coef de la matrice I. Vous en deduirez que TOUTES les puissances de t*A peuvent s'ecrire sous forme d'un polynome de degre 3 que vous calculerez (en general par recurrence).
ensuite vous ferez la somme de la serie entiere des (tA) donnant l'exponentielle : c'est aussi un polynome de degre 3 au maximum.
par ailleurs :
tA est symetrique, donc elle est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont reelles. les coeff de la matrice que vous trouverez seront donc des combinaisons lineaires des exp(t*lamba (i)), t*lambda(i) etant les valeurs propres de tA.
Je n'ai pas inventé cette methode. Elle ne date pas d'hier et est connue...