Montrer que n!e est un entier

[Ayzee]

Bonjour,

Je suis bloqué par la question suivante:

J'ai supposé par l'absurde que e était un rationnel et je cherche à montrer que pour n suffisamment grand, n!e est un entier. Je pense que cela a à voir sûrement avec la série de l'exponentielle puisque n! permet de simplifier un grand nombre de dénominateur mais je ne sais pas comment le montrer...

Des idées?

Merci d'avance !

[lyceen95]

Quel est l'énoncé de l'exercice que tu cherches à résoudre ?
Ici, tu expliques la solution que tu as cherchée, mais on ne connaît pas la question.

La série de l'exponentielle, précise ce que c'est.
Et oui, si on reconstitue l'énoncé le plus probable pour cet exercice, la série de l'exponentielle, c'est la bonne piste.

[Ayzee]

Voilà l'énoncé complet, je suis à la question I.8.

https://www.zupimages.net/viewer.php?id ... hdhizk.png

Lorsque je parle de la série exponentielle, je parle de cela:

https://zupimages.net/viewer.php?id=22/ ... izdwcr.png , avec A qui vaut 1 dans mon cas.

Mais je n'ai toujours pas avancé depuis hier, je ne sais pas comment montrer rigoureusement que c'est un entier, même si cela me semble plutôt logique (sous l'hypothèse de la rationalité!)

[lyceen95]

C'est quoi un nombre rationnel ?
C'est un nombre qui peut s'écrire comme quotient de 2 entiers.

On suppose que est un rationnel.
Donc il existe 2 entiers et tels que

Donc , dès que est suffisamment grand ( dès que est ___ ) est un ___

Je te laisse compléter les mots manquants, et continuer.

[phyelec]

Bonjour,

écrivez que avec p un entier naturel positif supérieur à 0 et n un entier naturel positif supérieur à 1.

puis on a :


puis multiplier par n!

[Ayzee]

En effet c'était évident... (je crois qu'il y a un terme en trop au milieu dans l'inégalité de phyelec mais ça n'a pas vraiment d'importance car j'ai compris)
Merci à vous deux bonne soirée