Dérivées n-ièmes

par **sensor** » 21 Déc 2006, 19:07

Bonjour.
J'ai des exercices sur les dérivées nèmes .
Je pensais que ce serait facile de conjecturer des formules en calculant les 1ers termes mais ce n'est pas le cas.
Mettez moi sur les pistes pour les dérivées nèmes suivantes :
1)y=1/(2x-3)

2)y=1/(ax+b) (avec a R*)

3)y=1/(1-x)²

4)y=(1+x)/(1-x)

5)y=1/(1-x²)

6)y=(sinx)^6 +(cos x)^6+3sin²xcos²x

7)y=exp(2x)cos²x

Merci de me mettre sur les pistes.
(sans faire exprès j'ai mis ce post dans le forum lycée)

par **fahr451** » 21 Déc 2006, 19:11

les 5 premières sont du même genre (après décomposition en éléments simples) :

1/(ax+b) = (ax+b)^(-1) et il suffit de dériver une deux ou trois fois pour voir qu 'il y a du " a" "du factoriel ""du signe un coup - un coup +"

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 19:12

Cf mes "belles écritures" dans l'autre discussion.
Waouw ! J'ai réussi à faire un joli lien ! :we:

par **sensor** » 21 Déc 2006, 19:17

pouvez vous m'expliquer la décomposition en éléments simples car la prof nous l'a pas éxpliquée...

par **fahr451** » 21 Déc 2006, 19:43

1/(x^2 -1) = a/(x-1) + b/(x+1)

par **sensor** » 21 Déc 2006, 19:46

mais je ne vois pas trop comment s'y ramener peux tu me corriger une des dérivées pour que je puisse m'en inspirer.

par **sensor** » 21 Déc 2006, 20:59

merci de m'aider...

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 21:08

Je prends le relai puisque Fahr n'est plus connecté.
Qu'est-ce qui te pose problème en fait ? La décomposition en éléments simples ou la dérivée n-ième de

?

par **sensor** » 21 Déc 2006, 21:10

la décompo en éléments simples

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 21:18

OK.
On commence par factoriser le dénominateur :

donc il existe deux réels a et b tels que

.
Il n'y a plus qu'à déterminer les a et b qui conviennent, par exemple en réduisant au même dénominateur et en identifiant les polynômes du numérateur.

par **sensor** » 21 Déc 2006, 21:21

je vais le faire pour 1/ax+b et tu me diras si c'est juste.
Attends un peu

par **sensor** » 21 Déc 2006, 21:34

pour 1/ax+b c simple c (1/a)*(1/(x+(b/a)))
pour 1/(1-x)² c'est a/(1-x) +b/(1+x) ?
Je cherche pour la suite et merci de confirmer

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 21:37

est déjà ce qu'on appelle un élément simple.
On veut justement mettre écrire

comme somme d'éléments simples.
Il faut effectivement trouver a et b (les tiens, pas ceux de ax+b qui n'ont rien à voir !)

par **sensor** » 21 Déc 2006, 21:49

1/x²-1 se décompose en a/x+1 + b/x-1 avec a =1/2 et b=-1/2

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 21:56

Si je décompose en

sensor a écrit:1/x²-1 se décompose en a/x+1 + b/x-1

je trouve

et

et pas

a =1/2 et b=-1/2

par **sensor** » 21 Déc 2006, 22:01

je vais faire les autre décompo
attends

par **sensor** » 21 Déc 2006, 22:04

pour y=1/(1-x)² je trouve a/(1-x)+(b/1-x) avec a=1/2 et b=1/2

par **sensor** » 21 Déc 2006, 22:18

comment on fait pour 1/(ax+b) ???

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 22:23

Là je quitte, mais j'ai demandé à Sandrine Guillerme de prendre la relève. Elle a accepté, et il faut juste attendre qu'elle finisse un truc.
Bonne soirée et à bientôt !

par **sensor** » 21 Déc 2006, 22:24

merci pour l'aide

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