Racines n iemes de l'unité

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Je n'ai pas compris ce point sur les complexes.
Comment utilise t on exactement ces racines?

C'est apparemment les racines telles que Z^n=1
J'ai donc deux questions:

1) Pouvez vous me donnez plusieurs exemples d'utilisation pour que je me rende compte de l'utilité ?
2) Je n'ai pas comprit la chose suivante qui vient un peu apres dans le cours: On obtient toutes les racines n iemes d'un complexe en multipliant une par les racines n iemes de l'unité.

Merci d'avance

[adrien69]

Bonjour à tous.

1) Pouvez vous me donnez plusieurs exemples d'utilisation pour que je me rende compte de l'utilité ?

Bah par exemple tu les utilises dans les polynômes cyclotomiques qui te permettent ensuite de démontrer que tout corps fini est commutatif. Mais ce n'est pas une application directe.

Sinon tu peux aussi t'en servir pour faire joujou avec des morphismes de groupe, ça te permet d'avoir une représentation graphique d'un groupe cyclique à n éléments, et à partir de là les propriétés géométriques du cercle unité te donnent des infos sur le groupe.

Hors de l'algèbre, on peut aussi les utiliser en combinatoire analytique/analyse complexe.
En fait si tu as une fonction f analytique en 0, de rayon de convergence R fini non nul, dont les coeffs sont tous positifs ou nuls, eh bien si tu appelles et que pour un certain a et b plus grand que 2, eh bien les points où f diverge sont en R fois une racine bième de l'unité.

Je n'ai pas d'exemple plus simple en tête, je dois l'avouer... Mais comme tu vois, ça sert.

2)Écris ta première racine nième de l'unité sous forme complexe. Multiplie la par elle-même, encore une fois, etc, n fois. Tu vas retrouver 1 et tu seras passé par toutes les racines nièmes de l'unité.

[Yozamu]

ah mince j'aurais du précisé, j'etudie ça en analyse, j'ai rien vu de tout ça en algèbre...

[adrien69]

Bah leur seul intérêt en analyse que je connaisse est celui que j'ai donné après, mais c'est vraiment de la haute voltige. Donc bon...
Sinon bah, ça sert surtout à expliciter des racines d'équations quoi. Mais là je ne t'apprends rien.

[Sylviel]

Tu as déjà dans ton point 2 un excellent exemple d'utilisation de ces racines. Sinon tu les verras apparaître à de nombreuses occasions à droite ou à gauche ne t'inquiète pas. Pour le moment voies les comme :
- des points sur un cercle de rayon 1,
- des rotations de centre l'origine et d'angle qui va bien,
- des complexes dont tu connais les puissances, le conjugué, certaines sommes...

[Yozamu]

Je pense qu'en cours on a du les utiliser pour le cas du cercle de rayon 1, mais je n'en sais pas plus, donc je ne sais pas de quelle manière les utiliser avec une équation quelconque...
Un ou deux exemples seraient les bienvenus!

[Sylviel]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par
"je ne sais pas de quelle manière les utiliser avec une équation quelconque".

Pour le moment considère simplement que ce sont des nombres complexes digne d'intérêt. Tu les utiliseras à de nombreuses reprises plus tard, ne t'inquiète pas.

Sinon as-tu pu montrer ton point 2 ?

si z est une racine neme de Z, et j une racine neme de l'unité que peux tu dire de (jz)^n ?
et inversement si z et z' sont des racines neme de Z, que peux tu dire de leur quotient ?

[Yozamu]

Justement, pour mon deuxième point, c'est la seule chose qu'on m'a dit sur l'utilité des racines de l'unité, et c'est ce que je ne comprends pas:
"On obtient toutes les racines n iemes d'un complexe en en multipliant une par les racines n iemes de l'unité"

-> Quelle racine d'un complexe doit on prendre, par quoi multiplier, etc, je ne comprends pas!

Par exemple pour -8, ou 8i ou je ne sais quoi d'autre, quel serait le résultat?

[Sylviel]

Et bien réponds aux deux questions que je t'ai posé qui te pave le chemin pour faire ce que tu veux.
Je reformule et détaille :

Soit Z un complexe. Soit z une racine n eme de Z, i.e un complexe tel que z^n=Z.
Que vaut (j*z)^n ? (où j est une racine neme de l'unité) donc que peut tu dire de j*z ?
Soit z' une racine n eme de Z, que vaut (z'/z)^n ? donc que peut tu dire de z'/z ?

[Yozamu]

Et bien réponds aux deux questions que je t'ai posé qui te pave le chemin pour faire ce que tu veux.
Je reformule et détaille :

Soit Z un complexe. Soit z une racine n eme de Z, i.e un complexe tel que z^n=Z.
Que vaut (j*z)^n ? (où j est une racine neme de l'unité) donc que peut tu dire de j*z ?
Soit z' une racine n eme de Z, que vaut (z'/z)^n ? donc que peut tu dire de z'/z ?

Je ne comprends pas vraiment comment ni pourquoi faire ça...

Tout ce que je suis capable de dire(et reste à voir si c'est pas inutile voire faux) c'est que:

Et c'est tout...

La deuxieme question, je ne sais pas

[adrien69]

T'as mal choisi tes notations Sylviel ^^
Yozamu, ici j c'est pas une racine 3eme de l'unité comme d'hab ;)
Et z^n, par définition ça vaut quoi ?

[Yozamu]

Je ne sais pas?