Comment montrer qu'un nombre est un entier relatif ?

[Ben314]

Oui, pour le 1) on peut effectivement utiliser P(X+1)-P(X) et faire une récurrence sur le degrés, ou bien utiliser les polynômes de Lagrange, ou bien utiliser le fait que les polynômes avec forment une base de l'ensemble des polynômes de degré et que ces polynômes prennent des valeurs entières aux points entiers (vu que ces valeurs sont, éventuellement au signe prés, des coefficients binomiaux qui sont évidement entiers).

Après, pour la 2), ben effectivement la 1) dit qu'il suffit que les soient des entiers successifs, mais est-ce qu'il faut qu'ils soient successifs pour que le résultat perdure ?

[tulipe]

Peut -être qu'on peut étendre en disant qu'il faut qu'ils soient premiers entre-eux ?

[Ben314]

Non : de degré 1 prend des valeurs entière en 3 et 5 (premiers entre eux), mais pas pour tout les entiers.

[tulipe]

J'y vais à tâtons (en supposant qu'ils n'ont pas besoin d'être tous consécutifs), je me disais qu'il suffit qu'il y en ai deux (ou un certain nombre) qui soient consécutifs mais tu vas sûrement me sortir un contre-exemple.

Sinon comme je n'ai pas trop de temps libre pour y réfléchir je reviendrais à mon idée de départ en dernier recours en disant qu'il faut qu'ils soient tous consécutifs, même si ce n'est sûrement pas ça au vu de ta réponse initiale.

[Ben314]

Si, en fait c'est la bonne intuition : le seul cas où ça marche, c'est celui où les n_i sont consécutifs.
Après, c'est pas forcément super évident de donner un exemple pour prouver que ça marche pas dans les autres cas. . .