Montrer qu'une expression est un entier

[polomaf]

Bonjour, je bloque sur une question (je n'arrive pas à trouver où insérer une racine cubique) :
montrer que A= racinecub(45-29*racinecar(2)) + racinecub(45+29*racinecar(2)) est un entier
j'ai étudié différents points de l'expression, notamment si on considère racinecub(45-29*racinecar(2)) = X
et racinecub(45+29*racinecar(2)) =Y

X^3 + Y^3=90
XY= 7
j'ai essayé de développer (x+y)^3 pour simplifier les racines cubiques :
(x+y)^3 = x^3 + 3yx^2 + 3xe^2 +y^3
= 90 + 3xyx+3yxy
= 90 + 3*7*x + 3*y*7
= 90 +21x+21y
je bloque..
Quelqu'un pourrait il m'aider à avancer svp.. ?

[Lostounet]

Super, du coup:

(x+y)^3-21(x+y)=90

Posons A=x+y

A^3-21A-90=0

6 est solution évidente ! Et la seule racine réelle.

[polomaf]

merci beaucoup, je n'avais pas pensé à poser a=(x+y)!

Edit : et du coup, comme A^3 est un entier, on en déduit que l'expression aussi, en disant que le cube d'un entier est un entier et réciproquement ?

[Lostounet]

Ben tu as même montré que A (le nombre dont il est question) est égal à 6!

A est un nombre réel (c'est ton expression de départ) qui vérifie A^3-21A-90=0

Or le seul nombre réel qui vérifie cela est 6. Donc A=6

[Razes]

On a :

Calcule: , essais d'identifier les termes, tu obtiendras un système d'équations avec

[Lostounet]

essais d'identifier les termes

Oulah, que veux-tu dire par "identifier les termes" sans parler d'extensions de corps?

[Razes]

essais d'identifier les termes

Oulah, que veux-tu dire par "identifier les termes" sans parler d'extensions de corps?

Ainsi, c'est plus clair:

;

Facile à résoudre, non?

[Lostounet]

Quel argument te permet d'identifier la partie "rationnelle/naturelle" et la partie "√2" (il en faut bien un...)

[Razes]

Quel argument te permet d'identifier la partie "rationnelle/naturelle" et la partie "√2" (il en faut bien un...)

Tu veux qu'on étudie l'ensemble des nombre de la forme ?

[Lostounet]

Par exemple oui :p Au moins de quoi voir que (1,√2) est une base de quelque chose. Non?

[Razes]

Par exemple oui :p Au moins de quoi voir que (1,√2) est une base de quelque chose. Non?

Oui, mais au niveau supérieur, on a dépassé ce stade.

[Lostounet]

Par exemple oui :p Au moins de quoi voir que (1,√2) est une base de quelque chose. Non?

Oui, mais au niveau supérieur, on a dépassé ce stade.

Cela va dépendre du niveau... Personnellement, c'est pas ce je trouve le plus facile les extensions de corps (ici c'est simple avec √2 mais c'est toute de suite plus embêtant avec plus de choses et des √2^(3) et des i et pour identifier dans les deux membres avec des bizarreries).

Bref, une petite justification peut-être suffirait je pense pour suivre la méthode que tu proposes.

[zygomatique]

quand on travaille sur les entiers alors ou c'est la même chose

on a simplement un polynome en l'indéterminée avec la relation

de même que est l'ensemble des polynômes en l'indéterminée i avec la relation

et c'est pourquoi cet ensemble de polynome est un espace vectoriel de dimension 2 ...

[Razes]

essais d'identifier les termes

Oulah, que veux-tu dire par "identifier les termes" sans parler d'extensions de corps?

Ainsi, c'est plus clair:

;

Facile à résoudre, non?

La solution est donc D'où