Tirer entier au hasard dans N tout entier: une probabilité?

[acteon]

Bonjour,
je réfléchis à un exemple très simple: tirer un entier au hasard dans N tout entier.
L'univers, N, est dénombrable...
de façon intuitive, la probabilité de tirer un entier donné devrait être 0.
Pourtant ceci ne permet pas de définir une probabilité puisque alors par additivité dénombrable on aurait P(N)=0!
il y a d'ailleurs d'autres évènements dont l'intuition donne aisément la probabilité: probabilité 1/2 de tirer un nombre pair, 1/p de tirer un multiple de p etc...

où est l'erreur? Qu'est ce qui fait que cette application probabilité toute simple n'en est pas une?
Merci!

[Robot]

La manière habituelle de faire est de considérer une proba uniforme sur {0,..., n} et de faire tendre n vers l'infini. (par exemple, pour mesurer la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux).

[arnaud32]

en gros tu cherches une mesure sur N muni de la tribu P(N). qui soit de mesure totale finie
il faut donc que tu attribues des 'poids' de façon a avoir une série convergente.

[Robot]

arnaud32, c'est un peu compliqué d'avoir une telle proba qui rende tous les entiers équiprobables.

[acteon]

merci pour vos réponses, oui c'est ça qui me dérange, c'est qu'on ne peut pas rendre tous les entiers équiprobables..poser P(n) = 1/2^n+1 ne me semble pas convaincant...
par ailleurs ce qui me dérange aussi, c'est qu'on dit que sur un ensemble dénombrable "tout se passe bien", on peut toujours prendre comme tribu l'ensemble des parties de Omega, qu'il n'y a donc pas de souci théorique...et là je me retrouve avec une probabilité toute simple qui n'en est pas une...

[Robot]

Encore une fois, le moyen de s'en tirer est de mettre une proba uniforme sur {1,...,n} et de faire tendre n vers l'infini.
On obtient, pour les ensembles gentils, une "probabilité" qui n'en est pas une car la "probabilité" pour chaque singleton est 0.
Mais la "probabilité" d'être multiple de p est bien 1/p, la "probabilité" d'être premier est nulle, la "probabilité" que deux entiers soient premiers entre eux est etc.

[Ben314]

Puisque tu parle de tribu et pour voir si tu comprend bien ce que te dit Robot, je te proposerais bien le petit exercice suivant :

Soit l'ensemble des parties telles que existe.
est-il une tribu sur ?

[nodgim]

Sinon tu peux éventuellement avancer cette loi de probabilité: Si n comporte k chiffres, P(k)=P(k+1)/10 qui exprime que plus les nombres sont grands, plus ils sont nombreux. Mais ça ne va pas beaucoup t'arranger....

[Robot]

@nodgim : loi de probabilité sur quoi ?

[acteon]

merci à tous, si je dois reformuler ce qui me gêne finalement, c'est que j'arrive à la question:
"peut-on contruire une loi de probabilité uniforme sur un univers dénombrable?", ou dit autrement une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur N
On le fait de façon très simple quand Omega) est fini ou continu, mais impossible dans le cas de N?
c'est ça qui me dérange.
merci pour le petit exercice je me pencherai dessus dès que je pourrai

[Sylviel]

Oui acteon : on ne peut pas définir (comprendre, il n'existe pas) de probabilité uniforme dans le cas d'un univers dénombrable muni de sa tribu
Dans le cas continu on définit une proba uniforme, mais pas sur la tribu la plus fine possible