Déterminant d'une matrice nxn

[Tessel75]

Bonjour, Ceci est mon premier message sur ce forum que je découvre ce soir même.
J'ai abandonné les maths il y a maintenant 48 ans, donc soyez indulgent avec mon expression et je vous remercie d'avance d'être très patient et très pédagogique dans vos réponses.

Voilà ma question ;
Comment démontrer que le déterminant d'une matrice carrée n.n , et dont les facteurs de la diagonale sont les opposés de la somme verticales des autres facteurs de cette même verticale, est nul? Pour être plus simple, quand a ii = - somme( a1i , a i-1 i , a i+1 i , a n i )

Soit la matrice A =
a11 ..... a1i ......a1n
a21 ..... a2i ......a2n
...................................
a i1 ........ a ii .......a in
...................................
a n1 ........ a ni .......a nn

avec a11 = - somme(a21, a31, .... a i1 .....a n1)
a22 = - somme(a12, a32, .... a i2 .....a n2)
................................................................
a ii = - somme(a1i, a2i, .... a i-1 i , a i+1 i ..... a ni)
................................................................
a nn = - somme( a n1, a n2, .... a ni .....a nn-1)

Exemple: Soit pour la matrice 4x4 , B , Montrez que det (B) =0
( -6...... 4........7......10 )
( 1.... -15.......8......11 )
( 2.......5.... -24......12 )
( 3.......6........9..... -33 )

J'ai pu faire le développement paramétré pour une matrice 4x4, mais je voudrais la démonstration pour une matrice nxn .
Je répète, soyez indulgent dans vos réponses, je n'ai plus touché aux matrices depuis presque 50 ans.
Merci pour vos réponses

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Une des propriétés du déterminant : on ne change pas la valeur du déterminant quand on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes.
Une autre propriété : si une ligne est nulle, le déterminant est nul.
Tu considères le déterminant d'une matrice telle que les sommes des coefficients de chaque colonne sont toutes nulles. Donc : que se passe-t-il quand tu ajoutes à la première ligne la somme des autres lignes ?

[Tessel75]

OK ! Merci de ta réponse.
Mais maintenant je ne sais pas si la réponse va convenir pour le problème de fond sous-jacent que je me pose. Parce qu'en fait, si j'ai un système d'équation correspondant à la matrice décrite, j'aurais :

a(1,1) A + a(1,2) B +.......... a(1,i) I + ...... a(1,n) N = 0
a(2,1) A + a(2,2) B +.......... a(2,i) I + ...... a(2,n) N = 0
...................................
a(i,1) A + a(i,2) B +.......... a(i,i) I + ...... a(i,n) N = 0
...................................
a(n,1) A + a(n,2) B +.......... a(n,i) I + ...... a(n,n) N = 0

Avec l'opération que tu me conseille, j'aurais ma 1ère ligne telle que
0 A + 0 B +.......... 0 I + ...... 0 N = 0
Ce qui est passablement tautologique. Mais peut-être après tout, est-ce la seule réponse possible, à savoir que la seule solution du problème serait 0/0
Merci

[GaBuZoMeu]

Tout simplement, ton système est équivalent à un système homogène (sans second membre) de n-1 équations linéaires en n inconnues. Il a donc une infinité de solutions (en général, toute une droite vectorielle de solutions).

[Tessel75]

Merci, peut-être que je reviendrai plus tard avec une question complémentaire sur ce même sujet .
Bonne fin de journée.