Prouver bijection entre NxN et N

[croco4]

Bonjour à tous,

Pour montrer que NxN est dénombrable, on montre qu'il existe une bijection entre NxN et N, elle est la suivante:

x


Du coup ce que je me demandais c'est comment montrer une bijection quand l'espace de départ et d'arrivée n'ont pas la même dimension.

En effet, jusqu'ici pour montrer qu'une fonction était bijective on posait f(x)=y, on résout l'équation et on montre qu'il existe une seule solution, mais la je ne vois pas comment m'y prendre étant donné que je compare un scalaire et un couple.

Merci par avance

[pascal16]

Il y a autant de nombres des N que dans N*N, ils sont tous les deux infinis et dénombrables.

ce qui n'a rien à voir entre "choisir un nombre appartenant à N*0" et choisir un nombre appartenant à N*N" qui d'un point de vu probabilité dit que le second est infiniment plus grand.

J'ai pas regardé ta formule, mais en général, on dénombre les fractions du type p/q en mettant p en abscisse, q en ordonnée et on circule en spirale dans le plan. On numérote alors 1-2-3-4 chaque point rencontré constituant une fraction. On démontre ainsi l'infinité dénombrable de Q.

Regarde ce que donne ta formule dans un plan p-q pour t'en persuadé.

[Kolis]

Bonjour !
Pour trouver le couple d'image tu commences par chercher (il y a entiers entre et ).
Ayant tu en déduis .

[pascal16]

pour la bijection, il faut montrer l'unicité de l'antécédent

[croco4]

Bonjour,

Merci à vous deux, je vais essayer vos deux méthodes.

[Mimosa]

Bonjour

Je reviens sur ceci:

montrer une bijection quand l'espace de départ et d'arrivée n'ont pas la même dimension

Comme ni ni ne sont des espaces vectoriels, parler de leur dimension n'a aucun sens!

[pascal16]

On parle de la notion de "infini dénombrable" ou de "groupe monogène infini totalement ordonné".

[croco4]

Merci pour vos réponses Mimosa et Pascal16,

Je ne savais pas du tout je le confesse, donc merci pour l'info.

[aviateur]

Bonjour
Sans faire des math-s très compliquées, je range les éléments de dans un certain ordre :

(0,0) (1,0) (0,1) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (4,0), ....
(vous voyez ce que je veux dire? .)

Par ce procédé j'ai "rangé" tous les éléments de dans un certain ordre.
Et plus précisément je fais correspondre à chaque élément de son rang

Donc (0,0) à pour image 0 , (1,0) a pour image 1, ....
Cette application est évidemment une bijection de vers N.

Moralité: "Il y a autant d'éléments dans que dans N"

[Ben314]

On peut (on doit ?) effectivement faire ce que dit aviateur ci dessus, c'est à dire voir une bijection de N dans X comme une énumération des élément de X (sans en oublier et sans doublons).
Par contre, l'énumération proposée ne va pas vu que (par exemple) le couple (2,3) n'apparaitra jamais vu la logique de l'énumération donnée (seul les couples (a,b) avec a>=b apparaissent dans la liste donnée).

En général, l'énumération que l'on donne (et qui correspond à la formule donnée dans le premier post) est :
(0,0) ; (1,0) ; (0,1) ; (2,0) ; (1,1);(0,2) ; (3,0) ; (2,1) ; (1,2) ; (0,3) ; (4,0) ; (3,1) ; (2,2); (1,3) ; (0,4) ; (5,0) ; . . .

Sinon, concernant ça :

En effet, jusqu'ici pour montrer qu'une fonction était bijective on posait f(x)=y, on résout l'équation et on montre qu'il existe une seule solution, mais la je ne vois pas comment m'y prendre étant donné que je compare un scalaire et un couple.

Ce que tu doit faire, ben c'est EXACTEMENT la même chose que d'habitude, c'est à dire considérer un y fixé de l'ensemble d'arrivé, donc ici un entier naturel y puis chercher le(s) éventuel(s) x de l'ensemble de départ tels que f(x)=y. Et comme ici l'ensemble de départ, c'est , le "x" que tu cherche, c'est un couple (p,q) d'entiers naturels.

[aviateur]

Merci @ben314 d'avoir relevé mon erreur.
En fait je voulais lire le "tableau"
selon les diagonales (p,q) d'équation p+q=n, n=0,1,2,...
et pour n fixé, je lis la diagonale dans le sens p croissant, q décroissant
i.e (n,0),(n-1,1),...(0,n) (un dessin aurait été plus parlant)

D'ailleurs, je n'ai pas vérifié, mais la fonction f donnée au départ correspond peut être à cette façon d'arranger les éléments de