En ces beaux jours de confinement j'essaie d'en profiter pour m'améliorer en algèbre ! J'ai donc décidé de faire une annale d'un sujet mais voilà je suis bloqué
Je vous mets tout de suite le sujet : https://i.ibb.co/6WW07V1/IMG-8037.jpg
Je vais vous expliquer comment j'ai procédé, là où je doute et où je ne suis bloqué. C'est parti !
1.a) Tout d'abord je me suis posé la question quelle est la loi du groupe pour appliquer ensuite la définition d'un morphisme. Etant donné que n=pq et que p et q sont des nombres premiers distincts alors n n'est pas forcément premier. Par conséquent on ne peut appliquer la loi multiplicative pour Z/nZ. J'ai donc appliqué la loi additive et la définition d'un morphisme de groupe à savoir : f(a+b)=f(a) + f(b) donc il faut montrer que f(a+b mod n) = f(a mod p, a mod q) + f(b mod p, b mod q)
f(a+b mod n) = (a+b mod p, a+b mod q)= (a mod p + b mod p, a mod q + b mod q)= ( a mod p, a mod q) + ( b mod p, b mod q) ) = f(a mod p, a mod q) + f(b mod p, b mod q)
Déjà ici je ne sais pas si ce que je viens de faire est juste ou faux ...
1.b )
Notation neutre : 0 (même si je sais qu'en réalité la barre est en haut)
Soit f: G=(Z/nZ) ->H = (Z/pZ)x(Z/qZ)
Injectif ssi : ker f = {a € Z/nZ | f(a)=eH}=eG
Ce qui équivaut à ker f = {a € Z/nZ | f(a mod n)= (a mod p, a mod q) = 0 } = 0 et eG=0
Donc ce morphisme est injectif. Je ne sais pas si j'ai bien expliqué.
Pour montrer savoir si c'est un isomorphisme il faut voir si f est surjectif:
f est surjectif si Im f ={h € H | il existe g € G, f(g)=h}= H
Et là je ne sais pas le montrer ..
2.
a) (Z/mZ)^x est un groupe pour la loi additive. En effet, pour que (Z/mZ)^x soit un groupe pour la loi additive il aurait fallu (Z/mZ)^x-{0} et que m soit premier.
b) L'élément neutre est du groupe (Z/pZ)^x est 0 . Avec plusieurs exemple j'ai trouvé que son ordre est p-(le nombre de diviseur de p)
c) Montrons que g est bien définie. C'est à dire montrons que f(a mod n) € (Z/pZ)^x X (Z/qZ)^x dès que a mod n € (Z/nZ)^x
Soit a mod n € (Z/nZ)^x, g(a mod n)= f(a mod n)= (a mod p, a mod q) € (Z/pZ) X (Z/qZ)
(Z/pZ)^x = {k mod p : pgcd (p,k)= 1)
or p est un nombre premier donc p est divisible par 1 et lui même : p
or si p=1, pgcd(k,1)=1
de plus (Z/pZ)^x={0, 1, ... p-1} donc k ne pourra pas prendre la valeur p donc il n'aura pas le cas pgcd(p,p)
C'est le même raisonnement pour (Z/qZ)^x
Donc on trouve bien que f(a mod n) € (Z/pZ)^x X (Z/qZ)^x dès que a mod n € (Z/nZ)^x
Montrons maintenant que g est un morphisme de groupe :
c'est à dire montrons que g(a+b mod n)= g(a mod n) + g(b mod n)
g(a+b mod n)= f(a+b mod n) = f(a mod n) + f(b mod n) d'après la question 1a)
ce qui équivaut à g(a+b mod n)= g(a mod n) + g(b mod n)
donc a bien montré que g est un morphisme de groupe.
d) Montrons que g est bijectif. Il est faut montrer alors que g est injectif et surjectif.
Or g (a mod n)= f (a mod n) et que f : f(a mod n)= ( a mod p, a mod q) est injectif alors g est injectif
Je fais de même pour surjectif (du coup je pense qu'à la question 1b) f est surjectif même si je n'arrive pas à le montrer)
Il me reste à déduire l'autre de (Z/nZ)^x en fonction de p et q.
On a que (Z/nZ)^x --> (Z/pZ)^x X (Z/qZ)^x
Or d'après la question 2b) j'ai trouvé que l'ordre de (Z/pZ)^x est p-(le nombre de diviseur de p)
Pour q c'est la même chose.
Donc l'ordre de (Z/nZ)^x = n-(le nombre de diviseur de p + le nombre de diviseur de q) (mais je n'en suis pas sûr)
Merci d'avoir pris le temps de lire ou d'y avoir jeté un petit coup d’œil !
Je vous souhaite une agréable journée
Cordialement