Groupes et morphisme.

[theloulou]

bonjour, je cherche de l'aide pour un exercice non résolu sur les groupes.

soit A = {x appartenant a R; il existe a,b appartenant à Z, x=a+bracine de 5}

montrer que A est un sous groupe de (R,+).

je pense qu'il faut prouver que la loi + est interne sur A, que l'élément neutre est dans A et que tout élement de A est symetrisable. est ce cela?

si oui, pour la loi interne, on doit prendre 2 éléments de A (x et x') et montrer que x+x' est dans A. vrai? pour l'élément neutr on pren x=0

est pour la symétrie -x qui est -a- b racine de 5

c'est la bonne méthode?

[Clembou]

bonjour, je cherche de l'aide pour un exercice non résolu sur les groupes.

soit A = {x appartenant a R; il existe a,b appartenant à Z, x=a+bracine de 5}

montrer que A est un sous groupe de (R,+).

je pense qu'il faut prouver que la loi + est interne sur A, que l'élément neutre est dans A et que tout élement de A est symetrisable. est ce cela?

si oui, pour la loi interne, on doit prendre 2 éléments de A (x et x') et montrer que x+x' est dans A. vrai? pour l'élément neutr on pren x=0

est pour la symétrie -x qui est -a- b racine de 5

c'est la bonne méthode?

C'est exact (voir Proposition 3.1.1. du poly M101).

[Nightmare]

Bonsoir,

Oui pour la loi interne, oui pour l'élément neutre et oui pour le symétrique (au passage tu dois aussi montrer l'associativité mais elle découle de celle de la loi +)

[Antho07]

Oui , un peu plus rapide .

Si est un groupe.

est un sous-groupe de G ssi

-le neutre de G est dans H

-



Donc ici il suffit de montrer

-0 dans A
- pour tout a et b dans A, a-b est dans A



(Ce que tu fais est tout a fait valable aussi)

[theloulou]

l'associativité est obligatoire pour prouver que c'est un sous groupe nightmare? clembou quand tu parle de stabilité c'est..? même dans ton poly je ne trouve pas

[Nightmare]

Non pour un sous groupe non, puisque c'est induit. Je pensais qu'il fallait montrer que c'était un groupe et non un sous-groupe (ce qui fondamentalement est la même chose)

[Clembou]

l'associativité est obligatoire pour prouver que c'est un sous groupe nightmare? clembou quand tu parle de stabilité c'est..? même dans ton poly je ne trouve pas

Stabilité (interne) :

[Clembou]

Stabilité (interne) :

[theloulou]

merci antho donc t'as méthode est plus rapide et suffisante, je garde ;) . j'obtiens a-a'+racine de 5(b-b') et je dois dire que (a-a' )et (b-b') sont dans Z c'est ça?

[Clembou]

C'est toujours dans pour tout a,a',b,b' dans

[theloulou]

donc la j'ai bien demontré la stabilité en trouvant cela?

[theloulou]

pour l'élément neutre c'est tout betement x=0+0racine de 5 = e ?

[Clembou]

Tu as montré la propriété de caractérisation d'un sous-groupe.

Pour l'élément neutre, il suffit de voir que si a = 0 et b = 0, x = 0 et c'est l'élément neutre additive de R

[theloulou]

on me rajoute une question dans cet exo avec une application. en disant
f:Z² -->A définie par f((a,b))= a+ b racine de 5

mq f est un morphisme de groupes... la je me sens perdu, d'habitude j'ai un groupe G et G' avec 2 loi de compositions et je travaille a partir de la, mais la de Z² vers A, je ne saisis pas.

(G,+) (G'*) f:G -->G' la je comprend en faisant quelque soit x et y de G
f(x+y) = f(x)*f(y)

[Clembou]

Les éléments de Z^2, c'est des couples (a,b)...

Donc en fait il faut montrer que :

f((a,b)+(a'+b')) = f(a,b)+f(a',b')...

[theloulou]

f(a+a',b+b') = a+a'+ racine de 5(b+b') = a+a'+b racine de 5 + b' racine de 5
= (a+b racine de 5) + (a'+b' racine de 5) = f(a,b) + f(a',b') ?? est ce correct?

[L.A.]

Bonjour.

Oui c'est juste.
pour que ce soit plus clair il faudrait écrire :
f((a,b)+(a',b')) = f(a+a',b+b') = ...

[theloulou]

merci L.A. pour la réponse, mais je me trouve dans une impasse maintrenant, je dois calculer ker(f) et Im(f). je sais que ker(f) = f^{-1}(e)= {x appartient à Z² tq f(x)=e'} mais je sais pas comment expliquer la definition

[L.A.]

Comme tu dis, le noyau de f est l'image réciproque de e'=0 par f, c'est à dire l'ens. des éléments (a,b) de Z² tq f(a,b) = 0

on cherche donc à résoudre f(a,b) = a+bV5 = 0 avec (a,b) dans Z².

Premièrement, y a-t-il une solution (a,b) évidente ?

[theloulou]

en prenant a et b = 0 on trouve a+b racine de 5 = 0 donc f(a,b) = 0 mais je suppose que ker f n'est pas constitué que de l'element neutre?