Bijection

[Pythagore1234]

Bonjour, j’ai besoin d’aide pour un dm de maths. Soit f(t)=exp (-t)-t-1 :
1. Précisez la nature des branches infinies de sa courbe
2. Justifiez que f est une bijection de R dans R. On appelle phi la réciproque de f. Dressez le tableau de variations de phi et précisez la nature des branches infinies.

Je suis vraiment bloqué pour la bijection, merci d’avance pour votre aide.

[Sa Majesté]

Quelles sont les variations de f et ses limites aux bornes de son domaine de définition ?

[Pythagore1234]

F est définie sur R et est strictement décroissante sur R. La limite en -infini c’est +infini et celle en +infini c’est -infini. C’est ce que j’ai trouvé

[Sa Majesté]

Cela suffit pour prouver que f est une bijection de R sur R.

[Pythagore1234]

Ah oui d’accord mais comment est-ce que je dois trouver le tableau de variation de sa réciproque sans avoir la fonction ?

[Pythagore1234]

Enfin surtout comment je trouve les branches infinies parce que je sais que phi est décroissante mais je sais pas comment trouver les limites

[GaBuZoMeu]

Fais un dessin !
Sais-tu comment on trouve le graphe de la fonction réciproque de à partir du graphe de ?

[Pythagore1234]

Oui je fais le symétrique par rapport à l’axe x=y du coup avec ce graphique j’ai l’impression que en +infini c’est une branche parabolique de direction asymptotique Ox et en -infini c’est l’asymptote y=-x-1 j’espère que cela suffit pour justifier

[Pythagore1234]

La question d’après pose g(x)=phi(phi(x)) et je dois justifier que g est dérivable et strictement croissante mais de même comment faire sans avoir la fonction phi ?

[Sa Majesté]

Quel est le domaine de définition de phi ?
Quelles sont ses limites aux bornes de son domaine de définition ?

Prends x1<x2.
Que peux-tu dire de phi(x1) par rapport à phi(x2) ?

[Pythagore1234]

Phi est définie sur R, lim en -infini c’est +infini et en +infini c’est moins l’infini et phi est strictement décroissante mais je vois toujours pas pour la fonction g=phi(phi(x)) ?

[Sa Majesté]

Prends x1<x2.
Que peux-tu dire de phi(x1) par rapport à phi(x2) ?

[Pythagore1234]

Phi(x1) est supérieur à phi(x2) car décroissante

[Sa Majesté]

Oui.
Et donc phi(phi(x1)) par rapport à phi(phi(x2)), après avoir trouvé le domaine de définition de phi(phi).

[Pythagore1234]

Le domaine de définition de phi(phi) c’est aussi R non ? Car on applique une fonction définie sur R sur une autre définie sur R. Du coup on a aussi phi(phi(x1)) supérieur à phi(phi(x2)) si x1<x2

[Pythagore1234]

Ah non du coup elle serait croissante donc l’inverse de ce que j’ai dit. Mais je ne vois pas comment l’expliquer mathématiquement parce que je le vois mais je ne comprends pas pourquoi

[Sa Majesté]

Le domaine de définition de phi(phi) c’est aussi R non ?

Oui

Du coup on a aussi phi(phi(x1)) supérieur à phi(phi(x2)) si x1<x2

Non.
Si x1 < x2 alors phi(x1) > phi(x2) puisque phi est décroissante.
Et donc phi(phi(x1)) < phi(phi(x2) puisque phi est décroissante.
Donc phi(phi) est croissante sur R.

[Pythagore1234]

D’accord et donc maintenant pour préciser la nature des branches infinies je fais comment sans la fonction ?

[Pythagore1234]

Je dois aussi trouver phi(phi(0))’