[MPSI MPSI]theorie des ensembles

[Anonyme]

Bonjour à la communauté des mathématiciens, pouvez vous m'aidez sur ce
probleme je vous en remercie par avance et à bientot.

Montrer que par dijonction des cas que l'equation 5 x ^3 + 11y^3 +
13z^3 = 0 n'admet dans Z^3 que la solution (0,0,0)

REPONSE PARTIELLE
Il faut utiliser la régle suivante : SOit A_1,A_2,..A_n et B des
assertions; si (A_1 ou A_2 ou A_n) et (A_1 => B) et (A_2=>B) ... (A_n
=>B) sont vraies alors B est vraie c'est la disjontion des cas.

S'il y a une solution (x,y,z) <> (0,0,0) alors divisant ces trois
nombres par leur pgcd qui n'est pas nul on trouve une solution
(x',y',z') en nombre premiers entre eux dans leur ensemble. Les
nombres x' et y' ne peuvent pas etre tous les ,deux divisibles par 13;
sinon z'^3 serait divisible par 13^2 donc z' serait divisible par 13;
il est de meme clair qu'il ne sont ni l'un ni l'autre divisible par
13;

5 x'^3 + 11y'^3 congru 0 [13] soit 5x'^3 congru 2y'^3 [13]
alors il est évident que seul l'equation 5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0
admet comme solution unique (0,0,0)