[MPSI][NO 3 P 14] [THEORIE DES ENSEMBLES]

[Anonyme]

Bonjour à la communauté des amis des mathématiques pouvez vous m'aidez
à resoudre ce probleme:
Prouvez ( A \ B = A ) <=> ( B \ A = B)
je vous en remercie par avance et à bientot @ +

[Anonyme]

Bonsoir,

dominique écrivait :
> Prouvez ( A \ B = A ) ( B \ A = B)

On montre => en supposant A\B = A.
Montrons que B\A = B, par double inclusion.

Soit x appartenant B\A, alors x appartient B et x n'appartient pas à
A, donc il est dans B. B\A est donc inclus dans B.

Soit x dans B, soit il est dans A, soit il n'est pas dans A.
-si x est dans A alors x est dans A\B à cause de l'égalité de
l'hypothèse, donc il n'est pas dans B, c'est absurde.
-si x n'est pas dans A, alors x appartient à B\A.

On a montré A\B = A => B\A = B

L'autre implication se montre en intervertissant les rôles de A et B.
D'où l'équivalence.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Le 25 Dec 2003 10:13:05 -0800
domi_edou@hotmail.com (dominique) écrivit:

> Bonjour à la communauté des amis des mathématiques pouvez vous m'aidez
> à resoudre ce probleme:
> Prouvez ( A \ B = A ) ( B \ A = B)
> je vous en remercie par avance et à bientot @ +
Une méthode générale pour résoudre ces problèmes est d'utiliser les
fonctions caractéristiques d'ensembles:
X_E (x)= 1 x \in E

Il est clair que E=F X_E=X_F.
On vérifie facilement que X_(E inter F) = X_E * X_F
et que X_(E\F)=X_E - X_E* X_F.
D'où
A \B = A X_A - X_A * X_B = X_A X_A * X_B=0
La preuve découle de la commutativité de *.
JJR.