[MPSI MPSI] [ théorie des ensembles]

[Anonyme]

Bonjour à la communauté des mathématiciens, auriez vous la gentillesse
de m'aidez à resoudre ce probleme, je vous en remercie par avance et à
bientot.

Soit E un ensemble non vide on ordonne P(E) par inclusion et on
considére une application croissante f: P(E) -> P(E) On note
Q(E) = { X appart à P(E) / f(X) inclus ds X}
Montrer que si X appart à Q(E) alors f(X) appart à Q(E)

Montrer que si X_o = (intersertion de X appart à Q(E)) de X alors
f(X_o)=X_o

je vous en remercie par avance et à bientot ...

[Anonyme]

Bonsoir

> Soit E un ensemble non vide on ordonne P(E) par inclusion et on
> considére une application croissante f: P(E) -> P(E) On note
> Q(E) = { X appart à P(E) / f(X) inclus ds X}
> Montrer que si X appart à Q(E) alors f(X) appart à Q(E)
>

Ca te dit juste que si f(X) inclus dans X, alors f(f(X)) inclus dans f(X),
ce qui résulte de la croissance de f.

> Montrer que si X_o = (intersertion de X appart à Q(E)) de X alors
> f(X_o)=X_o

X_o est inclus dans tout X de Q(E), donc f(X_o) est inclus dans tout f(X)
pour X dans Q(E) (par croissance). Alors f(X_o) inclus dans tout X de Q(E)
(car f(X) inclus dans X), ie f(X_o) inclus dans X_o. Au passage, X_o est
dans Q(E).

Réciproquement, tu dis que comme X_o est dans Q(E), alors f(X_o) aussi
(question précédente), donc X_o est inclus dans f(X_o) (puisque X_o
intersection de tous les éléments de Q(E).

++
J.S