Convergence d'une série (Partie A)

[Sheigh]

Bonjour tout le monde,

Voici mon exercice :

On veut établir la convergence de
, la série de terme général Un pour tout n>=1, définie par Un = sin(n)/n
Dans la suite, on notera :
Sn= = et An =
1- Montrer que = 2*
2- Justifier brièvement que <=
3- En déduire que <=1/
4- En remarquant que sin(k)= Ak-Ak-1, montrer que pour tout n>=2,
Sn=1/2*An+Ak*(1/k-1/(k+1))
5- Simplifier (1/k-1/(k+1)), quelle est la nature de la série 1/n-1/(n+1))
6- Conclure.

Alors,
1- Je pensais utiliser la technique de la factorisation de l'angle moitié à cause du demi angle de sin, sauf que je n'arrive pas du tout au final demandé.
2- cours
3- Je ne vois pas quoi faire
4 et 5 - 5, je vois quoi faire mais je pêche à arriver pour la 4
6-

Je vous remercie par avance.

[aviateur]

Bjr
1.
Puis prendre le module..
3. d'où le résultat avec l'aide des questions 1 et 2.

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), c'est bien ça qu'il faut faire (l'angle moitié) : montre tes calculs pour voir où est-ce que ça déconne.

Pour le 3), il faut dire que An, c'est la partie imaginaire de la somme des exp(i.k)=[exp(i)]^k qui est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (qu'on sait parfaitement exprimer de façon simple).

Pour le 4), ce qu'il faut écrire, c'est que, par exemple,

puis tu regroupe les deux , les deux et les deux qu'il y a dans la formule.

[Sheigh]

Bonjour je pédale un peu, comme si il me manque des éléments:

1) Je trouve le même résultat que aviateur de l'angle moitié c'est à dire exp(i*x/2)*2*i*sin(x/2), puis il m'a conseillé de prendre le module, j'imagine de , là j'ai trouvé , mais comment tout lier?

[aviateur]

Bsr
Je ne te comprends pas puisque le module de exp(i*x/2)*2*i*sin(x/2) est:
| exp(i*x/2)*2*i*sin(x/2)|=| exp(i*x/2)|2|i| |sin(x/2)|
mais | exp(i*x/2)|=|i|=1. donc on trouve le résultat

[Sheigh]

Bonjour,

D'accord, je pensais que l'énoncé était une valeur absolue, alors que c'est un module, vraiment je me sens complètement au moins j'ai compris. Bon ben je continue alors.