Exercice spé Math Term S

[Timben2000]

Salut,
Voila j'ai quelque problème sur quelque exercices , tel que celui ci :

k est un entier naturel supérieur ou égal à 3. On pose a=4k+1 et b=3k-8
Quels sont les diviseurs positifs communs à a et b.

[Mimosa]

Bonjour

Tu peux regarder 3a-4b.

[pascal16]

en se demandant si un diviseur commun à a et b l'est aussi avec 3a-4b

[chan79]

salut
On montre facilement qu'un diviseur commun à a et b appartient à l'ensemble {1;5;7;35}
Pour être plus précis, le résultat dépend de la valeur de k et ça se complique un peu !

[Rdvn]

Bonjour
Comme très souvent on exploite : les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.
On ne connait pas ce PGCD , mais en appliquant la propriété PGCD(a,b) = PGCD(a-t.b,b) , deux fois,
on trouve PGCD(a,b) = PGCD(u(k),35).
Il ne reste qu'a déterminer u(k) et la fin est facile.
Bon courage

[Rdvn]

Il ne reste qu'à déterminer, bien sûr...je n'ai pas trouvé comment corriger !

[aymanemaysae]

Bonjour;

.

Soit un diviseur commun de et ; donc est aussi un diviseur de .

On a : ; donc est un diviseur de ; donc : .


Si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon , si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon , si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon est le seul diviseur commun de et , et dans ce cas a et b sont premiers entre-eux .


Conclusion :

Si ; alors et sont les diviseurs communs de et ;

sinon si ; alors et sont les diviseurs communs de et ;

sinon si ; alors et sont les diviseurs communs de et .

sinon et sont premiers entre-eux .

[chan79]

Conclusion :

Si ; alors et sont les diviseurs communs de et .

Si ; alors et sont les diviseurs communs de et .

Si ; alors et sont les diviseurs communs de et .

Autrement , a et b sont premiers entre-eux .

Bonjour
Quelques petites choses à régler:
Dans le second cas, si t=-4 , c'est-à-dire k=-2-7*(-4)=26, alors les diviseurs communs à a et b sont les éléments de {1;5;7;35}

[Rdvn]

Bonjour à tous
Ne trouvez vous pas plus facile d'exploiter PGCD(4k+1,3k-8) = PGCD(k+9,35) ?
Cordialement

[aymanemaysae]

Bonjour;

Merci Mathelot pour la remarque : je crois que j'ai rectifié mon erreur .

[Timben2000]

Bonjour
Comme très souvent on exploite : les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.
On ne connait pas ce PGCD , mais en appliquant la propriété PGCD(a,b) = PGCD(a-t.b,b) , deux fois,
on trouve PGCD(a,b) = PGCD(u(k),35).
Il ne reste qu'a déterminer u(k) et la fin est facile.
Bon courage

J'ai essayer d'utiliser le PGCD (chapitre que j'ai pas abordé en classe mais que je fais de mon côté)
j'ai fait
a=4k+1
b=3k-8
3a-4b=35
PGCD(a;b)=PGCD(a;35) par rapport a une propriété que j'ai vue dans mon livre
sauf que normalement le PGCD de a et 35 sont le produit des facteurs premier communs de a et 35 mais il en on pas.
a=3(n+1)
35=7*5

Bonjour;

.

Soit un diviseur commun de et ; donc est aussi un diviseur de .

On a : ; donc est un diviseur de ; donc : .


Si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon , si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon , si ; donc ;

donc est un diviseur commun de et si ;

donc et sont les diviseurs communs de et si ;


sinon est le seul diviseur commun de et , et dans ce cas a et b sont premiers entre-eux .


Conclusion :

Si ; alors et sont les diviseurs communs de et ;

sinon si ; alors et sont les diviseurs communs de et ;

sinon si ; alors et sont les diviseurs communs de et .

sinon et sont premiers entre-eux .

merci pour la réponse mais je pense que le raisonnement est peut être trop complexe comparé à ce que l'on attend de moi, j'ai d'ailleurs un peu de mal à le saisir

[Rdvn]

Bonsoir,
Je reprend ma réponse précédente (a et b entiers, strictement positifs):
Comme très souvent on exploite : les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.
On ne connait pas ce PGCD , mais on va utiliser la propriété PGCD(a,b) = PGCD(a-t.b,b) , t entier relatif, pour trouver une forme plus facile à manipuler :
PGCD(4k+1 , 3k-8)=PGCD(4k+1-(3k-8) , 3k-8)=PGCD(k+9 , 3k-8) puis
PGCD(3k-8 , k+9)=PGCD(3k-8-3(k+9) , k+9)=PGCD(-35 , k+9)=PGCD(k+9 , 35)
on rassemble les égalités :
PGCD(4k+1 , 3k-8)=PGCD(k+9 , 35)
Donc un entier divise 4k+1 et 3k-8 si et seulement si il divise 35 et k+9 , ce qui dépend de k , bien sûr.
Les diviseurs positifs de 35 sont 1 , 5 , 7 , 35 . La fin est facile.
Remarque : était ce un exercice proposé en classe ? Si oui je n'en vois pas l'utilité si le PGCD n'a pas été étudié,
car c'est typiquement une situation où l'usage du PGCD simplifie largement le problème.
Bon courage

[chan79]

Salut
Pour compléter, on peut noter une périodicité
pgcd(k+9,35)=pgcd(k+35+9,35)