Exercice Term s math spé ppcm pgcd

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zaikosisi
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Exercice Term s math spé ppcm pgcd

par zaikosisi » 07 Fév 2007, 00:21

Bonjour j'ai un exercice de mathématiques spécialité de terminale s:

Résolvez le système suivant:
PGCD(x;y)=x-y
PPCM(x;y)=72

Il faut donc déterminer x et y

Merci . A bientot



yos
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par yos » 07 Fév 2007, 00:27

Il y a assez peu de couples d'entiers ayant pour PPCM 72. Fais la liste et regarde ceux qui vérifie la première condition.

zaikosisi
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re

par zaikosisi » 07 Fév 2007, 00:38

oui mai c'est un exercice ou il faut démontrer avec un calcul litteral en posant
d= PGCD(x;y)
et
m=PPCM(x;y)
avec md=xy

zaikosisi
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par zaikosisi » 07 Fév 2007, 01:16

aidez moi svp

yos
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par yos » 07 Fév 2007, 02:44

zaikosisi a écrit:oui mai c'est un exercice ou il faut démontrer avec un calcul litteral en posant
d= PGCD(x;y)
et
m=PPCM(x;y)
avec md=xy

Je constate que tu te fourvoies sur le sens du mot démonstration. Tu dois confondre avec le mot bricolage.

zaikosisi
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par zaikosisi » 07 Fév 2007, 14:55

je ne me fourvoie que parce que c'est necessaire. en effet c'est une demonstration complete qui est attendue.
Et pour information md=xy n'est pas un bricolage mais une propriété rigoureusement démontré.

crassus
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par crassus » 07 Fév 2007, 15:12

ce genre de probleme ne se resoud pas avec du simple cacul littéral


car dans md =xy tu perds de vue ce qu'est d explique moi alors comment faire apparaitre dans une forme littérale l'expression " PLUS GRAND"

tu dois passer par un raisonnement d'arithmétique

crassus
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par crassus » 07 Fév 2007, 15:28

si tu poses x=dx' et y= dy' avec x' et y' premiers entre eux , d =x-y suppose x' et y' consécutifs il s'en suit que 72/d doit etre le produit de deux entiers consécutifs NON?

quels sont les diviseurs de 72 ( il y'en a 12 en tout )qui sont le produit de deux entiers consécutifs ?

72=8x9 ( d=1 ); 12=3X4( d=6) ; 6= ...(d=12) , 2=1x2 (d=36)

conclue

yos
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par yos » 07 Fév 2007, 15:56

zaikosisi a écrit:Et pour information md=xy n'est pas un bricolage mais une propriété rigoureusement démontré.

Ce que je fustige, c'est le fait de croire que tout se fait avec des formules (magiques). Si tu mets ton cerveau en vacances, ça n'ira pas. Lis l'énoncé! Il te faut tous les couples (x,y) d'entiers vérifiant deux conditions. La seconde condition est assez restrictive pour que tu partes des quelques couples solution de cette condition. Toute solution du système est parmi les solutions de la deuxième condition. Cela s'appelle du raisonnement. Je peux t'affirmer qu'une solution hautement subtile et calculatoire serait déplacée ici.

Si vraiment tu veux faire savant, je peux te proposer la solution intermédiaire suivante. On pose x=dx' et y=dy' (x' et y' sont des entiers premiers entre eux). On a donc dx'y'=72. On cherche les produits de trois entiers, dont les deux derniers facteurs sont premiers entre eux, et qui donnent 72. Il y a 1X1X72, 1X8X9, 2X1X36, 2X4X9, 3X1X24, 3X3X8, 4X1X18, 4X2X9, 6X1X12, 6X3X4, 8X1X9, 9X1X8, 12X1X6, 12X2X3, 18X1X4, 24X1X3, 36X1X2, 72X1X1.
Cela nous fournit à chaque fois un couple (x,y) qui est solution ou pas!! Il reste à tester sur lui la seconde condition. On peut sûrement faire plus efficace (i.e. trouver une condition nécessaire plus forte qui limite le travail de testage à la fin). Mais ceci est parfaitement rigoureux.

C'est comme pour les équations ax+by=n dans Z². Tu peux pas espérer un raisonnement par équivalence. On raisonne par condition nécessaire et ensuite on cherche parmi les candidats solutions, celles qui sont vraiment solution.

crassus
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par crassus » 07 Fév 2007, 16:33

effectivement mais on peut éliminer tous les produiots ou il n'y a pas présence d'entier consécutifs puisque necessairement x'-y'=1 (car x-y=d ...dx'-dy'=d ...)

yos
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par yos » 07 Fév 2007, 18:35

crassus a écrit:effectivement mais on peut éliminer tous les produiots ou il n'y a pas présence d'entier consécutifs puisque necessairement x'-y'=1 (car x-y=d ...dx'-dy'=d ...)

Oui voilà une idée qui raccourcit tout de même.

 

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