Loi normale

[rdt]

Bonsoir,

Je vais vous présenter ma solution à un exercice dont la correction diffère sans que je comprenne pourquoi. J’espère que l’on pourra m’aider à voir plus clair sur ce point.


Exercice :
La durée de vie d’un certain type de lampe est modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi normale d’espérance et d’écart type [que je note respectivement M et S] inconnus. Les spécifications impliquent que 80% de la production ait une durée de vie entre 120 et 200 jours, et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.

Quelles sont les valeurs de M et S ?

Ma solution :
Si X suit une loi normale (M ; S^2) alors Z = (X -M)/S suit la loi normale N(0 ; 1).

[je précise que dans mon cours il est écrit :
Soit m et s deux nombres réels, s ≠ 0.
Une variable aléatoire X suit une loi normale N(m ; s^2) si la variable aléatoire Z = (X -m)/s suit la loi normale N(0 ;1).
Ce que j’interprète par l’implication :
Si la variable aléatoire Z = (X -m)/s suit la loi normale N(0 ;1),
Alors la variable aléatoire X suit une loi normale N(m ; s^2).
Et dans ce cas, la première phrase de ma solution est incorrecte, puisque si on a A implique B, on peut avoir B sans avoir A.
Mais, dans le corrigé de l’exercice d’application qui suit ce cours, on lit :
La variable X suit une loi normale N (p; q^2), cela signifie donc que la variable Z = (X -p)/q est sa variable aléatoire centrée réduite, et Z suit donc la loi normale N(0 ;1).
(!)
Je déduis donc, peut-être à tort, que la partie de mon cours que j’ai interprété comme une implication est en fait une relation d’équivalence, même si elle n'y est pas écrite… Wikipédia semble me donner raison]

Donc :
P(120 ≤ X≤ 200) = 0,8
équivaut à
P(120 ≤ ZS + M ≤ 200) = 0,8
soit
P((120 -M)/S ≤ Z ≤ (200 -M)/S ) = 0,8
et par symmétrie de la loi normale :
2(P(Z ≤ (200 -M)/S) -1/2) = 0,8
donc finalement :
P(Z ≤ (200 -M)/S) = 0,9.
Avec une machine on obtient 200 -M)/S =(environ) 1,28
et donc M = 200 -1,28S

Par le même procédé de centrage et réduction avec l’information P(X≤ 120) = 0,05 j’obtiens M = 120 + 1,64S.

Il ne reste ensuite qu’à résoudre le système.

La correction :
Elle présente, sans détailler son calcul, le système :
M = 120 + 1,65S (ce qui parait n’être qu’une différence due à la différence des machines utilisées)
M = 200 -1,04S (ce qui parait être une erreur d’au moins un humain).


Un grand merci d’avance pour l’aide que vous pourrez m’apporter.


PS : j’apprends les maths en dehors du système éducatif. Mes livres et vous, êtes donc actuellement mes uniques sources d’information et d’action mathématiques.

[pascal16]

P(Z ≤ (200 -M)/S) = 0,9 <- pourquoi 0.9

Les spécifications impliquent que 80% de la production ait une durée de vie entre 120 et 200 jours, et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.

la seconde info dit P(X≤120)=0.05
80% de la production ait une durée de vie entre 120 et 200 jours
mais 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.
soit 85% de la production a une durée de vie inférieure à 200 jours.
seconde équation : P(X≤200)=0.85

On retombe dans le cas classique qui donne quasi directement
M = 120 + 1,65S car "(120-M)/s=-1.644..."
M = 200 -1,04S

[rdt]

Merci Pascal16.
Je n’avais pas remarqué que les spécifications donnaient presque directement une seconde probabilité de la forme P(X ≤ 200).
Par conséquent j’essayais de l’obtenir à partir de P(120 ≤ X ≤ 200), mais en faisant la supposition téméraire suivante, qui s’avère être fausse au moins dans cette exercice :
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale (M : ss), sur un intervalle réel [a ;b].
Si [c ;d] est inclus dans [a ;b] alors avec Z la variable centrée réduite associée à X, on a :
P(c ≤ X ≤ d) = P((c-M)/s ≤ Z ≤ (d-M)/s) = 2 P(0 ≤ Z ≤ (d-M)/s) = 2(P(Z ≤ (d-M)/s) -1/2).

Or, comme dans cet exercice, (c-M)/s n’est pas nécessairement l’opposé de (d-M)/s.
Avec les résultat pour M et S j’observe que l’intervalle [120 ; 200] n’est pas centré sur M, donc il n’est pas intuitivement choquant que [(120-M)/s ; (200-M)/s)] ne soit pas centré sur 0.

Merci encore et bon weekend

[pascal16]

P(c ≤ X ≤ d) = P( X ≤ d) - P(X <c) doit aussi permettre d’utiliser des fonctions inverse de la calculette.

dans tous les cas, un algo informatique peut trouver les valeur (le solveur des tableurs est supposé savoir le faire, mais il est assez instable sur ce genre de recherche)