Equation avec arcsin

[Ax2139]

Bonsoir j'aimerai avoir de l'aide pour résoudre cette équation car je n'y arrive pas, merci d'avance



/!\ EDIT /!\
Mon calcul comportait une erreur qui crevait les yeux, @Lostounet avait raison, le 2 n'avait rien à faire dans l'équation, celle-ci devient :



Axel

[Yezu]

Bonsoir,

Juste pour t'informer que tu peux mettre des balises [ tex] ... [ /tex] pour que ton équation soit plus belle ! (Sans les espaces dans les crochets)

[Ax2139]

Cela m'intéresse mais je ne vois pas comment placer les balises ?

[Yezu]

\sin^{-1} \left(x \right)+2x\sqrt{1-x^2}=\frac{\pi}{8}

Écrit avec ton clavier [tex ] avant l'équation et [/tex ] après l'équation. (Sans les espaces dans les crochets)

[Ax2139]

C'est bon je viens de trouver merci beaucoup !

[mathelot]

x ≈ 0.131534148746257 ...

[Ax2139]

Merci, je sais trouver la valeur approchée mais j'aimerai connaitre le raisonnement qui permet d'aboutir à la valeur exacte.

[Lostounet]

Bonsoir j'aimerai avoir de l'aide pour résoudre cette équation car je n'y arrive pas, merci d'avance



Axel

Si seulement il n'y avait pas le '2' on aurait pu interpréter le membre de gauche comme primitive de qui est l'aire du disque unité (le quart?).
Mais après je pense pas qu'on puisse expliciter une solution exacte avec les fonctions usuelles ..!

[Ben314]

Salut,
- Si par "valeur exacte", tu entend écrire x= avec la liste complète de toutes les décimales, ben ça on ne sait quasiment jamais le faire. Rien que pour x=1/3, ben on peut pas vu qu'il y a une infinité de décimales.
- Si par "valeur exacte", tu entend écrire x= avec une série d'opération +, - , x , / et des nombre entier, ben ça aussi c'est plus que souvent qu'on peut pas. Par exemple x=racine(2), c'est pas possible.
- Si par "valeur exacte", tu entend écrire x= avec une série d'opération +, - , x , / et certaines fonctions considérées comme classiques, ben la réponse va dépendre de ce que tu met dans les "fonctions classiques". Si tu y met par exemple exp, ln, cos, sin alors un truc comme x=arcsin(1), ben tu peut pas l'écrire avec les "fonctions classiques" que tu as choisi. Évidement, si tu rajoute la fonction arcsin (plus éventuellement d'autres), y'a de nouveau nombre dont tu pourra donner la "valeur exacte", mais forcément pas tous (par exemple la constante d'Euler, on peut pas l'écrire "sous forme exacte")

Enfin, bref, c'est quoi que tu veut dire par "sous forme exacte" ?
Sachant qu'à priori, vu les fonction dont tu dispose dans ton arsenal de "fonctions classiques", ça m'étonerais fort que tu puisse écrire la valeur de x "sous forme exacte".

[Ax2139]

Bonsoir à vous deux,
Tout d’abord cette équation est bien en relation avec l’aire du quart du cercle unité, vous avez l’oeuil !
Cela dit ma notion de valeur exacte est assez large, quand vous me dites x=racine(2) j’interprète cela comme la valeur exacte de x, une valeur approchée serait pour moi x=1,41....
Dans mon cas j’ai besoin de la valeur de x pour d’autres calculs et il m’est impossible d’utiliser une valeur approchée à une quelconque décimale.
Mon but est ici d’isoler x dans l’équation peu importe les fonctions utilisées, la difficulté que je rencontre est précisément de dissocier x de arcsin(x) ou des autres fonctions trigos, j’aurai peut être du le mentionner dans mon premier message, si vous avez une solution à mon problème je serai ravi de l’ecouter.
Merci de prendre de votre temps,
Axel

[Ben314]

Si tu doit t'en servir par la suite en temps que "valeur exacte", alors tu fait ce qu'on fait systématiquement en math dans ce cas là : tu lui donne un nom par exemple et tu travaille avec exactement comme avec le nombre où la base de l'exponentielle .
Et exactement comme avec où, par exemple , ça fait rien de spécial (mais on peut l'approximer à la calculette) alors que , là c'est spécial vu que ça fait 0, ben toi ce que tu aura de "spécial" avec ton c'est que (ainsi que tout ce qui se déduit de cette relation là, mais je suis pas sûr qu'il y ait bien plus simple).

Et fait gaffe, si tu commence à dire "peu importe les fonctions utilisées", alors là, ton problème devient trivial : On note par exemple la fonction qui à un réel de [-1/2,1/2] associe , on montre que c'est bien une bijection sur l’intervalle d'arrivée et c'est plié : ton il est très très exactement égal à .
Certes, il n'y a pas de touche ni sur une calculette basique, mais sur une calculette programmable, tu peut parfaitement "rajouter" deux telles touches (via un programme) ce qui te permettra de calculer avec cette fonction exactement de la même façon qu'avec la fonction racine carrée ou exponentielle ou sinus (et c'est pour ça que je disait bien que cette notion "d'écriture exacte", c'est évidement complètement flou)

[Ax2139]

Très bien je comprend mieux la notion de « valeur exacte » mais si je vous suit il est compliqué voir impossible ici d’exprimer x avec des fonctions simples ?
Cela m’embête bien ...

[pascal16]

soit x= sin(α)

l'équation devient au moins pour un domaine de recherche de solution :
α +2sos(α)sin(α)=π/8
sin(2α)=π/8-α
C'est plus joli mais pas plus facile à résoudre

[aviateur]

Très bien je comprend mieux la notion de « valeur exacte » mais si je vous suit il est compliqué voir impossible ici d’exprimer x avec des fonctions simples ?
Cela m’embête bien ...

Bonjour, Et bien il faut savoir que les mathématiques ça sert à résoudre des problèmes concrets issus de la physique, de la chimie, de la finance....
Ces problèmes sont souvent formulés sous formes d'équations (à une inconnue, plusieurs inconnues, différentielles,..exct)
Ces équations qui viennent de la nature sont bien plus souvent insolvables "exactement" alors tu risques d'être souvent embêté.

[Ben314]

sin(2α)=π/8-α
C'est plus joli mais pas plus facile à résoudre

Oui, mais pour continuer toujours dans les "analogies" avec des trucs connus, à mon sens, c'est "ni mieux ni pire" que par exemple l'équation où "la" (avec des guillemets) solution exacte, c'est .
Et c'est quoi la définition de ce fameux nombre "" ? Ben c'est la solution de pardi...
Alors bien sûr, tu peut aussi dire que , mais ça ne fait que reporter le problème : c'est quoi la définition de la fonction exponentielle ? Et si tu dit que la définition, c'est que c'est la bijection réciproque du log népérien, ben là, on ne peut plus clairement tu tourne en rond vu que ça te donne comme définition du réel que c'est la solution de ...
Avec une autre définition de l'exponentielle, par exemple que c'est la solution du problème de Cauchy y'=y avec y(0)=1, là, effectivement, tu tourne un peu moins en rond, sauf que cette "solution du problème de Cauchy", ben on ne sait pas l'écrire avec les "fonction usuelles" autre que l'exponentielle qu'on est en train de vouloir définir.
Bref, pour résoudre ce problème là : Quel est le réel tel que ? dont l'énoncé ne fait aucunement référence directe aux fonction ln et exp, ben tu ne peut quasiment rien faire sans commencer par définir ces deux fameuses fonctions.

@Ax2139 : je ne peut pas te le "prouver" (sans parler du fait qu'il faudrait définir clairement quelles sont les "fonctions simples"), mais je suis intimement persuadé que la solution de ton truc ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles : trigo + exp + log. Par contre, si on accepte l'utilisation de Fonctions spéciales (<-lien), il y a peut-être moyen.

[Lostounet]

Bonsoir à vous deux,
Tout d’abord cette équation est bien en relation avec l’aire du quart du cercle unité, vous avez l’oeuil !

Si c'est lié au quart du cercle unité, pourrais-tu vérifier si tu n'as pas mis un "2" de trop? Ou alors nous dire c'est quoi le problème initial ?

Car là (si on corrige le "2") on dirait que tu cherches à trouver une droite verticale qui partagerait le quart de cercle en deux parties de même aire (pour faire une aire de (pi/4)/2.

Dans ce cas l'équation à résoudre est:

Soit:
1/2 (sqrt(1 - x^2) x + sin^(-1)(x)) = π/8

[pascal16]

A dire que hier je regardais une vidéo sur la quadrature du cercle

https://www.youtube.com/watch?v=VRAJNLPAiEY

[Ax2139]

Bonsoir à tous,
Je vois que mon équation vous donne du fil à retordre, je vous joint l'énoncé ainsi que mon raisonnement pour que vous puissiez mieux le comprendre.

Un intendant de Lycée dispose d'une cuve à combustible avec une jauge verticale afin de
prévoir à l'avance son assèchement. Il décide alors de graduer régulièrement la jauge verticale.
Cependant, après avoir régulièrement inspecté la jauge, il est pris de court car la cuve est
vide avant qu'il l'ait prévu.
a) Expliquer la raison de sa déconvenue.
b) Aider le gestionnaire à graduer la jauge de manière adaptée. Garder le même nombre de
graduations (huit) (c'est à dire en 8 volumes égaux).

Mon raisonnement :
Je commence par ramener le problème à l'étude de l'aire du cercle plutôt qu'au volume du cylindre, je considère alors un cercle de rayon r et de centre O(0;0).
Je décide de découper le cercle verticalement pour faciliter les calculs (le découpage est supposé horizontal dans l'énoncé, la cuve étant à l'horizontal sur le sol). Chaque portion de cercle possède donc une aire de
De plus je ne vais m'intéresser qu'à la moitié supérieure du cercle pour faciliter mes calculs d'aire. L'aire considérée devient :
Ensuite, comme le demi cercle est découpé en 8 parties égales, par symétrie cela revient à dire que le quart supérieur droit du cercle est divisée en 4 partie d'aire égale à .
Mon étude se concentre donc sur les x et les y positifs compris entre 0 et r.
Je cherche alors la coordonnée d'abscisse de mon premier découpage, qui vérifie :

On pose
Donc
On a donc :









Cela nous conduit à l'équation :

Soit :

En posant :


/!\ EDIT /!\
Mon calcul comportait une erreur qui crevait les yeux, @Lostounet avait raison, le 2 n'avait rien à faire dans l'équation, celle-ci devient :

Voilà d'où provient mon équation de départ, excusez ma rédaction un peu barbare je n'ai pas le courage de produire quelque chose de plus rigoureux.
ps : les intervalles de définition nous permettent ici d'utiliser les différentes fonctions trigo (je ne l'ai pas précisé dans ma rédaction).

Bonne soirée et merci d'avance à ceux qui prendront le temps de se pencher sur la question.

[Ben314]

Perso, j'aurais pas vraiment procédé comme ça, (mais ça doit donner la même chose).
Déjà j'aurais pris comme unité de mesure la longueur totale de la jauge donc en fait un disque de diamètre 1 c'est à dire de rayon .
Ensuite pour déterminer la surface lorsqu'il y a une hauteur h (entre 0 et 1) de fuel en bas du disque j'aurais pas utilisé d'intégrale mais du bête calcul de surface : si désigne l'angle entre le rayon vertical du disque (vers le bas) et le rayon allant à la limite air/fuel du bord de la cuve (à droite) alors et la surface du secteur angulaire correspondant est . Puis, à ce secteur angulaire il faut retrancher l'aire du triangle rectangle de coté et c'est à dire . Et enfin, il faut multiplier par 2 vu qu'on a calculé que la moitié de la surface et c'est pas stupide de diviser par la surface totale, à savoir pour avoir le résultat en terme de pourcentage de remplissage de la cuve :
Avec en terme de pourcentage de la jauge et en terme de pourcentage de cuve remplie.
Bien sûr, la fonction est strictement croissante et bijective et si tu veut exprimer la hauteur qu'à la jauge lorsque la cuve est 1/8 pleine, ben c'est simplement (à multiplier par la hauteur de la jauge vu que c'est un pourcentage).
Et (pour la 4em fois au moins), ben faut pas espérer l'exprimer plus simplement que ça ta hauteur de Jauge : tout ordi./calculette te permet de calculer les avec la précision voulue et si tu veut faire du "calcul théorique", ben tu reste simplement avec ton et c'est tout (sans parler du fait que si tu veut la courbe de , là, y'a besoin de quasiment rien comme outil vu qu'il suffit de tracer celle de et de la lire "à l'envers", c'est à dire de l'axe des ordonnées "vers" l'axe des abscisses et pas le contraire comme on le fait d'habitude)

[pascal16]

l'an passé il y avait eut un grand discussion sur le même sujet et la formule excel qui était utilisée marchait très bien, une simple approximation polynomiale, de degré 3 il me semble.