Implication logique

[Kiliango]

Pour tt (a,b) appartenant à R+ Mq:
a+b=1 implique a^2+b^2>=1/2 Et ab=<1/4
Et merci d'avance

[aviateur]

Oui tu peux dire bonjour. Mais ici c'est vrai. Tu as b=1-a alors tu as 2 fonctions de a à étudier et ça pose pas de pb.

[Lostounet]

Pour tt (a,b) appartenant à R+ Mq:
a+b=1 implique a^2+b^2>=1/2 Et ab=<1/4
Et merci d'avance

La droite a+b=1 n'est pas choisie au hasard:


Si on est sur la droite a+b=1 alors on est dans la zone rouge et bleue.

[Kiliango]

Stp comment étudier une fonction car je suis juste en 2eme S
Et y'a pas un autre astuce que d'étudier les 2 fonctions

[Kiliango]

J'ai pas bien compris et je suis nul en fonction

[Lostounet]

J'ai pas bien compris et je suis nul en fonction

C'est un dessin facile à comprendre...
On regarde les points du repère de coordonnées (a;b).

Pour montrer une implication, tu supposes que a+b=1 c'est-à-dire b=1-a.
On trace donc la droite y=1-x

Ensuite on peut observer que tous les points de cette droite sont à la fois:
1) A l'extérieur du disque a^2+b^2<1/2
Qui est un disque de centre (0;0) et de rayon racine(1/2).

2) Sous l'hyperbole d'équation y=(1/4)*1/(x)
Dont l'équation est xy=1/4


Donc ce que tu dois prouver c'est que:
Si b=1-a
Alors a^2+b^2 >= 1/2
Remplace b par 1-a... et essaye de factoriser.

[aviateur]

Ok donc tu as b=1-a.
En fait tu as deux démos à faire a^2+b^2>=1/2 puis ab<=1/4.

Je t'aide pour le premier, tu fais le deuxième:
donc a^2+b^2=a^2+(1-a)^2=a^2+a^2-2a+1=2 a^2- 2a +1; la question c'est est ce que c'est >=1/2

i.e 2 a^2 -2a + 1>=1/2 ?
2a^2 -2 a +1/2 >=0 ?
4 a^2 -4 a + 1>=0 ?
(2 a -1 )^2 >=0 ?
Mais cette dernière inégalité est vraie pour tout a appartenant à \R

donc la première est vraie cqfd

[aviateur]

pas vu le message de @lostounet essayes de comprendre les deux réponses.

Par contre j'ai bien vu le message de @beagle qui dit que c'est faux et qui reproche de ne pas dire bonjour.
Ceci explique ma première réponse.
Il a raison de de dire que par principe on dit bonjour. Mais pourquoi a-t-il retiré son message?

D'autre part en lisant bien tu nous remercie d'avance dc pas de pb.

[Kiliango]

Bonjour , J'ai pas bien compris car
Et pour la Réponse de aviateur c'est bien compris mais la on a implication pas equivalence et d'après mon niveau il y'a deux méthode à faire soit commencer par a+b=1 et tomber sur le résultat demander ou faire la contraposée ou disjonction des cas même si cette dernière je ne crois pas que ça soit la bonne méthode

[Lostounet]

Bonjour , J'ai pas bien compris car
Et pour la Réponse de aviateur c'est bien compris mais la on a implication pas equivalence et d'après mon niveau il y'a deux méthode à faire soit commencer par a+b=1 et tomber sur le résultat demander ou faire la contraposée ou disjonction des cas même si cette dernière je ne crois pas que ça soit la bonne méthode

Bon...
Tu supposes a+b=1

Tu dois maintenant "tomber sur"
a^2+b^2>=1/2

Donc tu dois factoriser a^2+(1-a)^2 -1/2 et voir si c'est positif.
Si oui, alors tu aurais montré que si a+b=1 ALORS a^2+b^2>=1/2

Et il te restera la deuxième.

Essaye de faire ce qu'on te demande sur un brouillon plutôt que de chercher la solution sur le forum ...

[Kiliango]

Merci je vais essayer

[aviateur]

rebonjour
D'abord concernant @lostounet c'est intéressant de voir ce qu'il dit mais c'est vrai que cela dé^passe peut être le niveau seconde.

Par contre, j'ai bien pris acte que c'est une implication et je n'ai démontré que l'implication.

Du point de vue logique j'ai supposé que a+b=1 et je démontre que a^2+b^2>=1/2.


Avec l'hypothèse (a+b=1) je démontre que

l'on a a^2+b^2>=1/2 est équivalent à (2a-1)^2>=0.

Mais ce n'est pas parce qu'il y a de l'équivalence dans mon raisonnement que j'ai démontré
que a+b=1 est équivalent à a^2+b^2>=1/2.

Par ailleurs la deuxième inégalité je ne l'ai pas faite.

Visiblement tu commences à envisager différentes façon de démontrer.

Il faut bien comprendre que tu peux faire un raisonnement par contraposition mais attention on fait cela si la démo est plus aisée que la démonstration de l'implication directe. Et ce n'est pas le cas ici.
Maintenant une démonstration par disjonction des cas n'a pas lieu ici.

[aviateur]

Oui effectivement on a bien décortiqué le travail. C'est pour cela que tu dois faire la deuxième partie et nous donner ta réponse.

[Kiliango]

Ok j'ai montrer que la première est positif
Pour la deuxième je vais essayer de montrer que a(1-a)-1/4 est négative
C'est ça?

[Lostounet]

Ok j'ai montrer que la première est positif
Pour la deuxième je vais essayer de montrer que a(1-a)-1/4 est négative
C'est ça?

Exactement!

[Kiliango]

Ok pour la première c'est positif j'ai trouver à la fin que
[(racine2)×a+rac(1/2)]^2>=0
Et la 2ème J'ai trouver
-[a-rac(1/4)]^2<0
Donc pour tt a et b appartenant à R l'implication est juste

[Kiliango]

Dit moi si il y un problème qui cloche

[Kiliango]

Les amis juste une p'tit question est ce que
P implique (Q et R) équivalent à P implque Q et P implique R

[Lostounet]

Les amis juste une p'tit question est ce que
P implique (Q et R) équivalent à P implque Q et P implique R

Oui et c'est ça qu'on utilise ici!

[Lostounet]

Ok pour la première c'est positif j'ai trouver à la fin que
[(racine2)×a+rac(1/2)]^2>=0
Et la 2ème J'ai trouver
-[a-rac(1/4)]^2<0
Donc pour tt a et b appartenant à R l'implication est juste

Oui.