Implication en logique

[Marmus1021]

Bonjour à tous ! J'essaye en ce moment de comprendre le fonctionnement des transistors dans un ordinateur ( avec les portes de logique ). Donc j'ai étudié un peu la logique, et il y a quelque chose que je n'arrive pas à visualiser. Pourquoi A => B équivaut à nonA ou B ? J'ai fait les tables de vérité et c'est bien équivalent, mais est-ce que vous pourriez me donner un exemple concret svp ?

Et aussi, non(A=>B), je ne vois pas ce que c'est par rapport à A=>B ? Est-ce que non(A=>B) équivaut à : nonA => nonB ?

Merci de votre aide

[GaBuZoMeu]

Et aussi, non(A=>B), je ne vois pas ce que c'est par rapport à A=>B ? Est-ce que non(A=>B) équivaut à : nonA => nonB ?

veut dire "si A, alors B". Comment peut on nier ça ? En ayant A sans que B se produise. Autrement dit, avec "A et non B". La négation de
équivaut à . Ce que tu écris équivaut à ; ce n'est pas ça.

est-ce que vous pourriez me donner un exemple concret svp ?

Un exercice (classique). On a quatre cartes. Sur chaque carte figure une lettre sur une face et un nombre sur l'autre face. Les cartes sont posées sur une table, de sorte qu'on n'en voit qu'une seule face. On voit E, 7, N, 4.
Combien faut-il retourner de cartes au minimum (et lesquelles) pour s'assurer de la vérité de l'assertion suivante :
" Pour toute carte, si on a une voyelle sur une face, alors on a un nombre pair sur l'autre".

L'implication pose très souvent un problème aux débutants. En général, on surmonte l'obstacle, mais il y a tout de même des personnes qui refusent de comprendre le sens de l'implication logique. Ton questionnement est normal.

[Mateo_13]

Bonjour,

Hervé Lehning a publié un très bon exemple dans un de ses livres :

Un voleur est cerné par des gendarmes, et leur crie : "N'avancez pas, ou je tire ",
ce qui équivaut à : "Si vous avancez, je tire !"

Cordialement,
--
Mateo.

[GaBuZoMeu]

La suite de l'histoire : les gendarmes se figent sur place, et le voleur les dégomme.
Morale : le voleur avait bien compris l'implication logique.

[Marmus1021]

Merci pour les réponses. GaBuZoMeu, comment fais-tu pour savoir que nonA => non B équivaut à A ou non B ?
Et sinon pour l'exercice que tu m'as donné, je pense qu'il faut retourner seulement une carte : celle avec le E, et vérifier qu'il y a bien une voyelle de l'autre côté.
Mais dans cette exemple, je ne comprends pas pourquoi "Si on a une voyelle sur une face, alors on a un nombre pair sur l'autre" équivaut à "il n'y a pas de voyelle sur une face ou il y a un nombre pair." C'est bien non A ou B ?

[GaBuZoMeu]

Merci pour les réponses. GaBuZoMeu, comment fais-tu pour savoir que nonA => non B équivaut à A ou non B ?

Puisque A => B équivaut à (non A) ou B, (non A) => non B équivaut à (non non A) ou non B, ce qui équivaut à A ou non B

Et sinon pour l'exercice que tu m'as donné, je pense qu'il faut retourner seulement une carte : celle avec le E, et vérifier qu'il y a bien une voyelle de l'autre côté.

C'est vraiment ce que tu voulais écrire ? Voyons, si on vouit un E, de l'autre côté il y a un nombre ! Tu peux reprendre cet exercice ?

Mais dans cette exemple, je ne comprends pas pourquoi "Si on a une voyelle sur une face, alors on a un nombre pair sur l'autre" équivaut à "il n'y a pas de voyelle sur une face ou il y a un nombre pair." C'est bien non A ou B ?

Je ne pas sûr de bien comprendre ta question. Je vais tout de même essayer de répondre. On comprend peut-être mieux en passant à la négation. Quand-est-ce que A=> B est mis en défaut ? Quand on a A et pas B, d'accord ? (Dans l'exemple cité par Mateo, la déclaration du voleur est mise en défaut dans le cas où les gendarmes avancent et que lui ne tire pas). Ce que je dis c'est que non (A => B) équivaut à A et non B. Maintenant, reprenons la négation : A => B équivaut à non (A et non B), qui équivaut à (non A) ou B. D'accord ?

[Marmus1021]

Oui pardon, je me suis trompé en écrivant. Derrière le E il faut vérifier qu'il y a un nombre pair c'est bien cela ?

Et donc pour votre exemple, il vaut mieux passer pour la négation pour comprendre concrètement ce que cela signifie. Mais nous sommes d'accord que (nonA) ou B, dans cet exemple, c'est : "Il n'y a pas de voyelle sur une face ou il y a nombre pair" ?

[GaBuZoMeu]

Je suis d'accord pour la formulation "Il n'y a pas de voyelle sur la face lettre ou il y a nombre pair sur la face nombre", et donc si tu es d'accord tu dois voir qu'il ne suffit pas de retourner la carte qui montre un E (c'est nécessaire bien sûr).

[Marmus1021]

il faut aussi retourner la carte avec le 4 ? Dans cet exemple, c'est bien A=>B, avec A : "Il y a une voyelle sur le côté lettre", et B : "Il y a un chiffre pair du côté chiffre" ? Donc il faut seulement vérifier que quand A est vrai, B est vrai aussi non ? Je pensais que je n'avais pas besoin de vérifier que quand B est vrai, A est vrai.

[Marmus1021]

Ah non ok j'ai compris je crois. Cette implication signifie que si on a une voyelle sur une face, alors il y a un chiffre pair sur l'autre face. Mais ce n'est pas parce qu'il y a un chiffre pair sur une face qu'il y a une voyelle. Donc il faut retourner celle avec le E, pour vérifier qu'il y a un chiffre pair de l'autre côté, et celle avec le 7 pour vérifier que ce n'est pas une voyelle de l'autre côté.

[Marmus1021]

Et encore une question si vous me le permettez
Je ne suis pas sûr de vraiment comprendre comment on peut transformer une implication en une proposition avec un "ou" ou un "et". Par exemple, dans notre exemple, A=>B équivaut à "Il n'y a pas de voyelle sur une face ou il y a un chiffre pair." J'ai testé avec d'autres propositions, et je crois que ça correspond aux cartes qui sont forcément validés, c'est-à-dire celles pour lesquelles l'implication est toujours vrai. Donc cela signifie que les cartes sans voyelle ou avec un chiffre pair, il n'y avait pas besoin de les retourner pour vérifier l'implication.
Est-ce que c'est bien ça ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Oui, il n'y a pas besoin de retourner les cartes qui montrent une consonne ou un chiffre pair.

[LuisFigo]

Oui car elles n'ont rien à voir avec l'implication, elle ne servent pas à prouver qu'elle est vraie ou fausse.

[beagle]

Bonjour,
c'est quand que l'ordinateur dans le :
si A alors B
else C
il utilise des si A alors B avec des A faux?
Il ya des langages de programmation qui le font?

[LuisFigo]

En informatique comme en électronique c'est
Si A (vrai) alors B
Sinon (A Faux) faire la suite.

L'implication en logique est une implication qui est dépourvu de sens d'où son qualificatif de "matérielle" (et ceci est voulu) ce qui permet aux machines de l'utiliser.
Si jamais A est faux et bien on autorise le passage à l'étape suivante (car l'implication est considérée comme vrai).

Mais en réalité quand l'hypothèse n'est pas vérifiée on sort de l'implication.

C'est pourquoi l'exercice sur les cartes est largement biaisé, sur les deux dernières cartes qui servent à rien il a été mis des chiffres et des lettres pour faire "semblant" que ça fait parti de l'implication.
En réalité sur ces deux cartes on aurait dessiné un animal d'un coté et un monument de l'autre ou voir aucune carte du tout, et ça n'aurait strictement rien changé à l'implication.

[LuisFigo]

Encore une fois, pour tous ceux qui traitent de l'implication en logique et qui n'ont pas compris ou oublié ce qu'est une implication de manière générale, voici un petit rappel :

Lorsque l'hypothèse est vérifiée alors la conclusion l'est ou doit l'être.
Si la conclusion n'est pas vérifiée alors c'est que l'hypothèse ne l'est pas ou ne peut pas l'être.
Et c'est tout !

En logique, comme il faut définir une valeur de vérité dans le cas ou l'hypothèse n'est pas vérifiée, alors dans ce vrai on met la valeur à vrai car la conclusion peut être vérifiée où non, car dans le cas où l'hypothèse n'est pas vérifiée cela n'a plus aucun lien avec l'implication.

[LuisFigo]

(Bien sûr je faisais référence à GBZM, Vassillia et compagnie.)

[LuisFigo]

Dans le fil lycee/implication-logique-t232023.html
la solution proposée par jbreuil sur la vaccination (je n'ai pas bien compris l'autre) réponds bien sur le principe, mais ce n'est pas un contre-exemple mathématique.
En revanche la solution proposée par hdci me pose quand même un vrai problème, c'est bien un contre-exemple du point de vue purement logique, mais ce n'est pas un "vrai" contre-exemple.

Du coup, j'ai un peu de mal à voir comment trouver un exemple où l'on a pas A(x)=>B(x) quand tous les A(x) et les B(x) sont vrais. Ca me paraît même impossible à avoir à première vue. Du coup peut-on vraiment dire que c'est faux ?

Mais bon, il faudrait répondre dans le fil concerné.

[beagle]

L'ordinateur utilise la logique booléenne,
et à quel moment, a-t-on des exemple simples où l'ordinateur utilise le si A alors B avec A faux ? (différent de il utiliserait nonA).
Juste des exemples si il y en a des simples.

[hdci]

Le if / else de l'ordinateur n'est pas vraiment un connecteur logique. Le bloc d'instruction qui suit le "if" est exécuté si et seulement si la condition du "if" est vraie.

Si on veut coder une condition qui se traduit par la véracité de "A => B", il faut alors transformer avec les écritures équivalentes utilisant les NON, ET et OU. Ainsi, la "A=>B" est équivalent à "(non A) ou B" et c'est ainsi qu'on codifiera (si on veut exécuter quelque chose si "A=>B" est vraie, on testera la véracité de "(non A)ou B")

Exemple en C++, si A et B représentent des booléens ou assimilés
if(!A || B) {
}