Exo d'algebre général
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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jeremy58
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par jeremy58 » 02 Nov 2006, 15:06
Vedeus a écrit:Un groupe fini
étant fixé, n'y aurait-il pas un nombre fini de morphismes
?
Ceci étant dit, si
désigne un automorphisme de
, alors on peut construire un morphisme
dont le noyau est
)
...
Je suis désolé mais je ne comprends pas tres bien vos indications.
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yos
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par yos » 02 Nov 2006, 15:43
Je reprends la question de jeremy58 qui aurait mérité un deuxième fil car ici les questions et les réponses se croisent.
Le fait que G ait un nombre fini de générateurs entraîne que Aut(G) est fini car un automorphisme de G est déterminé par les images des générateurs.
On pose
=\{s_1,...,s_n\})
les sous groupes
)
sont distingués dans G et leur intersection K devrait réaliser ce qu'on veut.
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Vedeus
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par Vedeus » 02 Nov 2006, 15:53
jeremy58 a écrit:Je suis désolé mais je ne comprends pas tres bien vos indications.
Alors une nouvelle indication :
le sous-groupe
}{\bigcap}\varphi(H))
n'est-il pas un sous-groupe caractéristique de
?
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Vedeus
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par Vedeus » 02 Nov 2006, 15:55
yos a écrit:Le fait que G ait un nombre fini de générateurs entraîne que Aut(G) est fini
Non. Essaye
muni de l'addition.
Il y a une infinité d'automorphismes de ce groupe.
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yos
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par yos » 02 Nov 2006, 17:01
Vedeus a écrit:Non. Essaye
muni de l'addition.
Il y a une infinité d'automorphismes de ce groupe.
Ah oui j'ai parlé trop vite. Mais ce que tu proposes plus haut est la même chose que moi : si on n'a pas la finitude de Aut(G), le fait que cette intersection soit d'indice finie est moins clair. Et même le fait qu'elle est non triviale.
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Vedeus
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par Vedeus » 02 Nov 2006, 18:31
yos a écrit:Ah oui j'ai parlé trop vite. Mais ce que tu proposes plus haut est la même chose que moi.
Non, relis bien ce que j'ai écris.
Je ne passe pas par la finitude de
)
mais par celle de l'ensemble
\;\mid \; \varphi \in Aut(G)\bigr\})
ce qui est moins fort mais suffisant.
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jeremy58
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par jeremy58 » 03 Nov 2006, 12:15
Je me pose une petite question qui n'a peut-etre aucun sens.
J'aurais voulu savois si vous pensiez que cet exo est toujours vrai si H n'est pas distingué?
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Vedeus
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par Vedeus » 03 Nov 2006, 14:19
jeremy58 a écrit:Je me pose une petite question qui n'a peut-etre aucun sens.
J'aurais voulu savois si vous pensiez que cet exo est toujours vrai si H n'est pas distingué?
Oui, parce que de toutes manières tu peux remplacer
par un sous-groupe distingué de
qui est inclus dans
et d'indice fini dans
(cf. premier exo du fil).
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jeremy58
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par jeremy58 » 04 Nov 2006, 14:37
Je ne comprends pas bien comment ker p peut-etre égal à phi(H)? ou p designe le morphisme de G dans G/H.
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Vedeus
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par Vedeus » 04 Nov 2006, 17:57
jeremy58 a écrit:Je ne comprends pas bien comment ker p peut-etre égal à phi(H)? ou p designe le morphisme de G dans G/H.
Il n'y a pas qu'un morphisme de
sur
.
Si
est un automorphisme de
, il induit
un isomorphisme de
)
,
et alors en notant
} : \; G \rightarrow G/\varphi(H))
la projection canonique, le morphisme
^{-1} \circ \pi_{\varphi(H)} : \; G \rightarrow G/H)
a bien pour noyau
.
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