L'algèbre en général

[xNiicO]

Bonsoir,

Je viens pas pour un exercice mais pour avoir l'avis de connaisseurs de cette partie en mathématique qu'est l'algèbre.

Je suis au tout début avec les espaces vectoriels et je suis pas mal perdu peut-être car je cherche toujours une explication sauf que parfois j'ai pas le savoir nécessaire pour toujours tout comprendre, pourquoi telle chose est comme ça et pourquoi on peut aboutir à telle ou telle chose.

Je voulais avoir des conseils sur cette matière, comment progresser en plus de mes cours ? refaire et refaire toujours les exercices ou vous auriez d'autres méthodes ? ouvrages ou sites internet par exemple ou autre...

Une autre question, à quoi sert tout ça en fait, l'algèbre en général, j'ai pu voir qu'il y avait aussi de l'algèbre linéaire, bilinéaire, je voudrais un peu savoir en quoi ça consiste et quel est son but ? :)

Merci d'avance

[Ben314]

En ce qui me concerne (donc c'est discutable), je trouve qu'il n'y a (quasi) qu'une seule façon d'apprendre les maths : faire des exos... (de niveau varié dépendant du niveau actuel que l'on a : pas la peine de faire 50 fois des exos. basiques une fois que la méthode est comprise, et ne surtout pas attaquer d'exos "durs" avant d'avoir aquis les "basiques"...)

Aprés, l'algèbre, ça sert... à tout : c'est un formalisme permettant de comprendre les liens qu'il y a entre des objets qui peuvent sembler au premier abord de nature différentes.
Ca permet par exemple de comprendre pourquoi certaines méthodes de calculs sur les réels continue à fonctioneer sur l'ensemble des matrices (par exemple) et pourquoi d'autres ne marche pas.
Il y a des applications... dans des tas de domaines.
L'algèbre linéaire (c'est à dire les espaces vectoriels...) sert dans à peu prés tout les domaines scientifiques, mais il y a aussi de nombreuses applications d'autres branches de l'algèbre, par exemple la théorie des groupes est trés utile en cristallographie.

[Robic]

L'algèbre sert à tellement de choses qu'aujourd'hui, l'analyse est en quelque sorte devenue une branche de l'algèbre (les espaces métriques, compacts, normés, etc. c'est de l'algèbre ; pour résoudre une équation aux dérivées partielles on a besoin de se placer dans un espace vectoriel de fonctions donc c'est encore de l'algèbre...)

Exemple d'utilisation importante : le calcul numérique. À peu près tous les phénomènes physiques (rigidité de poutres, chaleur, météo, comportement de fluides, même des phénomènes économiques...) se modélisent par des équations différentielles ou aux dérivées partielles (EDP), qu'on résout numériquement en discrétisant (on calcule sur un ensemble fini de points ou d'éléments). Les équations différentielles et les EDP, lorsqu'on les discrétise, conduisent à des systèmes d'équations linéaires (N équations à N inconnues, où N est un nombre lié à la discrétisation) qu'on résout par ordinateur. Il existe plein d''algorithmes de résolution selon les particularités du système d'équations, qui dépendent des particularités de l'équation de départ. Par exemple on a souvent des matrices creuses, ou bien on a des matrices dites "mal conditionnées", qu'il faut "reconditionner" en les multipliant pour une autre matrice, etc. Toute la richesse de l'algèbre linéaire est mobilisée pour la résolution numérique.

(Si on me confiait la définition du nouveau programme de terminale, je maintiendrais les équations différentielles comme il y a dix ans, j'ajouterais le calcul matriciel (mais présenté pour résoudre des systèmes d'équations, pas comme dans l'option maths où ça sert pour des broutilles) et je présenterais comme application la résolution d'équations différentielles issues de la physique (*) par différences finies (approximation affine), qu'on résoudrait ensuite par le pivot (algorithmique + initiation à la programmation).)

(*) Il faudrait remettre l'électricité dans le programme de physique. Dans le cours sur les circuits RLC on avait des machins sinusoïdaux qui s'amortissaient, c'étaient des solutions d'équations du 2d degré qu'on ne savait pas résoudre en terminale, mais qu'on pourrait recalculer numériquement : retrouver sur le graphique la forme vue dans l'oscilloscope me paraît une bonne motivation, et c'est du concret.

Mais bon, arrêtons de rêver...

[Ben314]

Si on me confiait la définition du nouveau programme de terminale, je maintiendrais les équations différentielles comme il y a dix ans, j'ajouterais le calcul matriciel (mais présenté pour résoudre des systèmes d'équations, pas comme dans l'option maths où ça sert pour des broutilles) et je présenterais comme application la résolution d'équations différentielles issues de la physique (*) par différences finies (approximation affine), qu'on résoudrait ensuite par le pivot (algorithmique + initiation à la programmation).

Pour faire un peu d'humour (noir...), je pense que le fond du problème, c'est que si on remettait ça au programe du lycée et qu'on garde un coeff non ridicule pour les maths, ben j'ai peur qu'on ait un peu de mal à garder le 91,9% de taux de réussite qu'on a eu au bac général l'année dernière...
Alors que si tu met trois ou quatres petites formules à apprendre par coeur...

[xNiicO]

Merci pour les réponses :)

J'arrive un peu tardivement, j'avais oublié surement :)

Mais c'est vrai qu'avant de commencer l'algèbre je pensais pas que de telles choses très théoriques existé, je m'attendais pas à ça. mais comme tu l'as dis Ben, j'ai toujours essayé de faire des exercices, j'ai toujours réussit, après faut les faire bien mais j'ai beau en faire en algèbre, il y a certains que je comprends pas tellement le fond, pour un prof c'est facile dans le raisonnement mais quand c'est nouveau pour nous et bien c'est très dur à assimiler, mais je pense qu'en continuant ça rentrera correctement dans ma tête, mais c'est vrai que j'ai vu quelques de petites notions qui servent plutôt bien et si on continue un peu plus on atterrit sur de l'analyse qui selon moi est bien plus facile à comprendre.

Je suis qu'au début du cursus universitaire donc je vois surement des choses plutôt facile encore, je sais pas à quoi m'attendre :)

[Ben314]

A mon avis, et surtout concernant l'algèbre, c'est normal qu'au début tu comprenne pas grand chose à ce que tu manipule (au début, quand on te fait vérifier que tel ou tel truc est un espace vectoriel ou un groupe, c'est pas trés clair l'intérêt du schmilblick...)
Mais ce qu'il faut QUAND MÊME arriver à faire, c'est d'attaquer les exercices alors qu'on ne comprend pas encore trop bien ce qu'est qu'un "espace vectoriel" ou un "groupe" : il faut arriver à manupuler les axiomes sans trop voir leur intérêt.
Ce n'est a mon avis que comme ça que, petit à petit, on voit tout l'intérêt de ces fameux axiomes et la "richesse" qu'il procurent de part la diversité des situations où on peut utiliser les techniques en question.

Le plus déroutant, c'est toujours cette "'première phase" où on voit pas du tout où on veut aller ni à quoi ça sert "tout ça", mais si on ne se décourage pas, on fini par voir le fameux "où on veut en venir"...