Exo d'algebre général

[bibup]

bonjour à tous,
j'ai un petit soucis avec un exo d'algebre!

Soit G un groupe, H un sous groupe propre de G.
Si H est d'indice fini alors il existeun sous-groupe distingué de G, d'indice fini, contenu dans H.

Mon probleme est de montrer qu'il existe?
Merci

[yos]

Ben c'est faux. Si G est simple, il n'a aucun sous-groupe distingué.

[bibup]

ON ne dit pas que G est simple, on dit seulement que H est une sous-groupe propre de G.
H sous-groupe propre de G signifie que H est différent de {e}.
et G est un groupe simple si ses seuls sous-groupes distingués sont G ou {e}.
Donc on ne peut pas conclure que G est simple!
enfin je ne crois pas.

[yos]

Je dis que ton énoncé est faux car il ne précise pas que G n'est pas simple.

[bibup]

désolé je n'avais pas compris. Donc il faut distingué les 2 cas et citer le cas ou G est simple et donc il n'y a pas existance d'un sous groupe distingué.

[yos]

Es-tu bien sûr des hypothèses de l'exercice? Il n'y a pas un contexte?

[bibup]

non ces biens les hypothèses de mon exercice. le probleme c'est que l'on a pas encore fait le cours sur les permutations et ma prof de TD dit qu'il faut que je les utilises. donc je suis assez embetée car je ne vois meme pas par ou commencer!

[B_J]

regarde l'exercice 4.37 ici ( mais sans solution :( )

puis appliquer le theoreme de Cayley

[yos]

non ces biens les hypothèses de mon exercice. le probleme c'est que l'on a pas encore fait le cours sur les permutations et ma prof de TD dit qu'il faut que je les utilises. donc je suis assez embetée car je ne vois meme pas par ou commencer!

Désolé mais tu ne parles pas de permutation dans ton exercice. Tu pars d'un groupe quelconque G et ce n'est pas la même chose.

[Yipee]

Je commence par m'excuser si je dis des aneries car je suis tres fatigue.

Pour commencer, je pense que le sujet est bien pose. Il est bien précisé "si" H est un ... De ce fait le cas ou G est simple est exclus.

Sinon pour revenir à l'exercice, il me semble que l'on peut considérer l'ensemble des classes G/H (qui n'est pas un groupe à priori car H n'est pas forcement distingué). Dès lors G agit que G/H. Si on note n le cardinal de G/H cela donne une application p: G -> Sn qui doit être un morphisme de groupe. A ce moment je pense que le noyau K de p répond au problème.

Quelqu'un confirme ?

[Yipee]

J'ai du ecrire des conneries. Si on prend un groupe simple fini. Par exemple . On prend H un sous-groupe engendré par un élément. Il est d'indice fini. Mais comme il est simple...

[Vedeus]

Oui, ça marche. Le groupe agit sur l'ensemble fini par multiplication à gauche. Le noyau du morphisme ainsi défini est d'indice fini dans , et est inclus dans car les éléments de sont précisément ceux de qui fixent la classe dans l'action précitée.

[Vedeus]

J'ai du ecrire des conneries. Si on prend un groupe simple fini. Par exemple . On prend H un sous-groupe engendré par un élément. Il est d'indice fini. Mais comme il est simple...

Un groupe simple a toujours des sous-groupes distingués :
lui-même et le sous-groupe .
Il lui manque en revanche des sous-groupes non triviaux distingués...

[jeremy58]

bonjour a tous,
moi aussi j'ai un probleme similaire.

Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué propre de G. Si H est d'indice fini et G admet un ensemble fini de générateurs, montrer qu'il existe un sous-groupe caractéristique de G, d'indice fini, contenu dans H.

Je ne sais pas du tout comment commencer.
Merci d'avance de me donner quelques indices.

[Vedeus]

bonjour a tous,
moi aussi j'ai un probleme similaire.

Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué propre de G. Si H est d'indice fini et G admet un ensemble fini de générateurs, montrer qu'il existe un sous-groupe caractéristique de G, d'indice fini, contenu dans H.

Je ne sais pas du tout comment commencer.
Merci d'avance de me donner quelques indices.

Un groupe fini étant fixé, n'y aurait-il pas un nombre fini de morphismes ?

Ceci étant dit, si désigne un automorphisme de , alors on peut construire un morphisme dont le noyau est ...

[B_J]

j'ai posté un message contenant un lien vers une image ( exos ) mais le lien a disparu ???? je comprend pas ?!!!!

[bibup]

bonjour à tous,
j'ai un petit soucis avec un exo d'algebre!

Soit G un groupe, H un sous groupe propre de G.
Si H est d'indice fini alors il existeun sous-groupe distingué de G, d'indice fini, contenu dans H.

Mon probleme est de montrer qu'il existe?
Merci

merci à tous vous m'aidez tous bcp
j'aurais voulu savoir encore un petit truc.
le sous-groupe distingué trouvé est donc le noyau de p où p:G->Sn peut on dire que ce noyau est : l'intersection des gH(g-1) avec g dans G

[Vedeus]

merci à tous vous m'aidez tous bcp
j'aurais voulu savoir encore un petit truc.
le sous-groupe distingué trouvé est donc le noyau de p où p:G->Sn peut on dire que ce noyau est : l'intersection des gH(g-1) avec g dans G

Oui ! Le sous-groupe des éléments G qui fixent la classe à gauche gH
par multiplication à gauche est précisément gHg^{-1}.

[bibup]

d'apres le théorème de Lagrange qui nous dit : L'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, peut-on dire que comme l'ordre du groupe est fini, l'ordre du sous-groupe distingué est fini?

[yos]

d'apres le théorème de Lagrange qui nous dit : L'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, peut-on dire que comme l'ordre du groupe est fini, l'ordre du sous-groupe distingué est fini?

En voilà une question amusante (pas la première dans ce fil). Un sous-groupe d'un groupe fini est-il fini? Et avec le théorème de Lagrange s'il vous plait.