Exercice sur les Applications

[Edison11]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour savoir si j'ai correctement répondu aux questions, voici l'énoncé :

Soient deux ensembles E,F.

1) Soit A une partie de E⋂F. A est-elle une partie de E? de F? En déduire une comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

2) Soit B un ensemble qui est a la fois contenu dans E et aussi dans F. B est-il contenu dans E⋂F? En déduire une deuxième comparaison de P(E⋂F) avec P(E)⋂P(F).

3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

4) Montrez que toute partie de E est une partie de E⋃F. En déduire une comparaison de P(E⋃F) avec P(E)⋃P(F).

Ce que j'ai répondu :

1) A∊P(E⋂F) <=> A⊂(E⋂F)

A⊂(E⋂F) <=> ∀x∊A, x∊(E⋂F)

or x∊(E⋂F) <=> x∊E et x∊F

ainsi ∀x∊A, x∊E et x∊F

on peut donc dire que A⊂E et A⊂F

donc A∊P(E) et A∊P(F)

On en déduit donc que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

2) On nous dit que B∊P(E) et B∊P(F) donc que B⊂E et B⊂F

Si B⊂E et B⊂F alors B⊂(E⋂F)

Concernant la deuxième comparaison je ne sais vraiment pas ...

3) E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

Supposons un ensemble B⊂F et B∉P(E)

alors B⊂(E⋃F) mais B⊄E

4) Comme dit à la question précédente : E⋃F ={x / x∊E ou x∊F} (le ou n'est pas exclusif)

donc si x∊E, x∊ E⋃F

de la même manière :

si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)

On en déduit donc que :

P(E⋃F)≠P(E)⋃P(F)

J'aimerai savoir si mes réponses et justifications sont correctes et pertinentes, merci beaucoup!

[vejitoblue]

salut c'est à peut près ok
en fait la 1) on veut montrer que P(EinterF) est inclus dans P(E) inter P(F) et la 2) montre l'inclusion inverse
du coup 1)+2) <=> P(EinterF)=P(E)interP(F)

3) il y a peut etre une erreur d'énoncé

4)si B⊂E alors B⊂(E⋃F) <=> B∈P(E) alors B∈P(F)
ça c'est faux (enfin ce qu'il y a a droite de l'equivalence), il suffit de prendre F comme le complémentaire de E pour s'en rendre compte.

[beagle]

salut c'est à peut près ok
.................
3) il y a peut etre une erreur d'énoncé

...........................

"3) Sur un exemple simple, montrez qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.
si on prend à la fois du E et du F qui ne sont pas dans l'inter, ben ce sous-ensemble là il n'est pas dans E à cause de la partie F et il n'est pas dans F à cause de la partie E.
trivialement le très simple: E union F moins E inter F

4) d'où on tirera qu'à la question 4 l'un est inclus dans l'autre mais l'autre pas inclus dans l'un...

[Edison11]

Merci pour vos réponses!!

Donc :

1) P(E⋂F)⊂P(E)⋂P(F)

2) P(E⋂F)⊃P(E)⋂P(F)

De ces 2 affirmations on en conclu que P(E⋂F)=P(E)⋂P(F)

3) Ok alors en supposant E={a,b}, F ={c}

On veut montrer qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

E⋃F = {a,b,c}
P(E⋃F)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b ,c},{a},{b},{c},∅}

Pour le coup ça saute aux yeux {c}⊄E et {a}⊄F (par exemple)

[beagle]

Merci pour vos réponses!!

Donc :
..............................................
3) Ok alors en supposant E={a,b}, F ={c}

On veut montrer qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

E⋃F = {a,b,c}
P(E⋃F)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b ,c},{a},{b},{c},∅}

Pour le coup ça saute aux yeux {c}⊄E et {a}⊄F (par exemple)

euh, la question est UNE partie de E union F, UNE = la même n'est pas dans E ni dans F.

ton exemple avec E inter F vide est très bon, là-dedans si tu prends du E et du F
ils ne sont pas dans E à cause de l'élement F, et pas dans F à cause de l'élement E.
{a,c} ou {b,c} ben ils ne peuvent pas ètre ni dans E ni dans F

[Edison11]

Ok pour la question 4) maintenant :

E⊂(E⋃F)
F⊂(E⋃F)

P(E)⊂P(E⋃F)
P(F)⊂P(E⋃F)

Donc P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)

(E⋃F)⊄E
(E⋃F)⊄F

P(E⋃F)⊄P(E)
P(E⋃F)⊄P(F)

Donc P(E⋃F)⊄ P(E)⋃P(F)

C'est juste ?

[Edison11]

Merci pour vos réponses!!

Donc :
..............................................
3) Ok alors en supposant E={a,b}, F ={c}

On veut montrer qu'une partie de E⋃F peut ne pas être contenue dans E, ni dans F.

E⋃F = {a,b,c}
P(E⋃F)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b ,c},{a},{b},{c},∅}

Pour le coup ça saute aux yeux {c}⊄E et {a}⊄F (par exemple)

euh, la question est UNE partie de E union F, UNE = la même n'est pas dans E ni dans F.

ton exemple avec E inter F vide est très bon, là-dedans si tu prends du E et du F
ils ne sont pas dans E à cause de l'élement F, et pas dans F à cause de l'élement E.
{a,c} ou {b,c} ben ils ne peuvent pas ètre ni dans E ni dans F

Ah oui en effet j'suis bête pour le coup... merci bcp!

[beagle]

Ok pour la question 4) maintenant :

E⊂(E⋃F)
F⊂(E⋃F)

P(E)⊂P(E⋃F)
P(F)⊂P(E⋃F)

Donc P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)

(E⋃F)⊄E
(E⋃F)⊄F

P(E⋃F)⊄P(E)
P(E⋃F)⊄P(F)

Donc P(E⋃F)⊄ P(E)⋃P(F)

C'est juste ?

Je suppose mais pas très habitué aux écritures maths, donc je ne sais pas rédiger proprement.
Demande confirmation aux plus pro.
Déjà "partie de" à la place de "sous-ensemble" me perturbe, je ne sais déjà plus où j'habite,
juste j'aime bien les patates, alors j'ai répondu, mais ...

[Edison11]

J'crois j'ai faux enfaite pour la question 4 car si F est un sous ensemble de E ou tout simplement si F = ∅, bah dire E⋂F ⊄ E c'est faux...

Comment je dois procéder svp ?

[beagle]

J'crois j'ai faux enfaite pour la question 4 car si F est un sous ensemble de E ou tout simplement si F = ∅, bah dire E⋂F ⊄ E c'est faux...

Comment je dois procéder svp ?

Je sais pas mais si E est dans F (ou l'inverse)
alors l'inclusion
P(EUF) inclus dans P(E) U P(F) marche

mais dans ce cas là la numéro3 aussi ne fonctionne plus.
.

[beagle]

désolé je fais entre deux trucs au boulot

Bon pour la 3) ils veulent juste un exemple
donc c'est bon

Pour la 4) ben c'est juste à montrer l'inclusion dans un sens donc.
P(E)⋃P(F)⊂P(E⋃F)
et on s'en fiche que parfois cela marche aussi dans l'autre sens, tu n'en parles pas point barre.

[Edison11]

Mais le but c'est de montrer que c'est inclu dans un sens et que ce n'est pas inclu dans l'autre sens faut bien le montrer non ?

[beagle]

Mais le but c'est de montrer que c'est inclu dans un sens et que ce n'est pas inclu dans l'autre sens faut bien le montrer non ?

La question était en déduire une comparaison.
par exemple plus grand plus petit
ou l'un inclus dans l'autre

mais si la comparaison était inférieur ou égal par exemple,
ben faut pas démontrer inférieur strict.

Donc on a ici une inclusion qui va jusqu'à l'égalité des ensembles au ma
ximum.
Donc c'est mieux de ne pas démontrer le sens inverse comme (faussement ) prévu.
C'est inclus jusqu'à un maximum qui sera l'égalité des ensembles.
Mais si F est dans E, ben jouer avec les parties de E union les parties de F, versus jouer avec les parties de E union F, franchement, c'est la même chose, ce sont les parties de E tout seul.