Exercice sur les bases et les applications

[dudule]

Soit B°=4e1,e2,e3,e4} la base canonique de r^4 et f l'endomorphisme de R^4 défini par:
f(e1)=e1-e3+e4
f(e2)=-e1+e2+e3
f(e3)=-e1+3e2+e3+2e4
f(e4)=-3e1+e2+3e3-2e4
On se propose de déterminer par deux méthodes Ker f et Im f

Méthode1 :
1/ On pose: v1=-2e1-3e2+e3 ; v2=2e1-e2+e4 ; v3=e3 ; v4=e4
a) Montrer que B'={v1,v2,v3,v4} est une base de R^4.( c'est bon le déterminant de la matrice correspondant à B' est différent de 0 )
b) Ecrire de f relativement à la base B'.
2/ Déduire de ce qui précède une base et la dimension de Im f et Ker f.
3/ Ker f et Im f sont-ils supplémentaires ?

Méthode 2:
On note A la matrice de f relativement à la base B°.
1/ a) Déterminer le rang de A
b) En déduire le rang de f et une base de Im f.
2/ déterminer une base de Ker f .

Merci d'avance !!!!