Probleme sur les applications et les ensembles

[youlii]

Bonjour,
J'ai un dm à faire mais je n'arrive pas à répondre aux questions, j'ai besoin d'aide.

Voici l'exo :
1) Soit E un ensemble fini de cardinal p,entier impair, et h: E->E une application involutive h°h=IdE)
On considere sur E la relation binaire R définie par :
xRy ssi (y=x ou y=h(x) )
a) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. ( ça j'ai réussi )
b) Montrer que le cardinal d'une classe d'équivalence est égal à 1 ou 2. Prouver que h admet au moins un point fixe. ( la par contre je bloque totalement, je ne vois pas du tout )

2) On suppose l'existence d'une application f : N -> N vérifiant pour tout n appartenant à N, f(f(n)) = n + 2009.
a) Montrer que pour tout n appartenant à N, f(n+2009) = f(n) + 2009. En déduire que pour tout n appartenant a N, pour tout appartenant à N,
f(n+2009k) = f(n) + 2009k
b) On considère l'application g : [|0,2008|] -> [|0,2008|], n-> g(n) reste de la division euclidienne de f(n) par 2009.
b1) montrer que g°g= Id( [|0,2008|] )
b2) prouver qu'il existe a appartenant à [|0,2008|] et k appartenant à N tel que f(a)= a+ 2009k. Montrer que l'égalité f(f(a))= a +2009 conduit à une contradiction. Que peut-on en conclure?

J'ai beau chercher depuis des heures, je ne trouve rien meme avec l'aide de mon frere.
Pouvez vous m'aider?


Merci d'avance

[nuage]

Salut,
pour commencer la question 1b :
il y a dans E deux types d'éléments ceux qui vérifient h(x)=x et les autres.
regarde dans chaque cas le nombre d'élément de la classe d'équivalence.
En n'oubliant pas que si y=h(x) alors x=h(y).

[youlii]

d'accord,
si je comprend bien, quand x= h(x) la classe d'équivalence C(x) ne contient que l'élément x donc Card (C(x)) = 1.
Et quand, pour tout y quelconque, y= h(x) la classe d'equivalence C(x) contient deux éléments distincts x et son image par h y donc Card (C(x)) = 2.

C'est bien ça où j'ai compris de travers?

Et il y a un point fixe car le cardinal de la classe d'équivalence est égal à 1 ou à 2, et car E est un ensemble fini de cardinal p impair.

C'est correct comme raisonnement?

[nuage]

:king2: c'est bien ça :king2:

[youlii]

Merci, j'ai réussi à terminer l'exo mais maintenant j'ai un probleme avec un autre exercice:

Si A est une partie de N, on pose pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
Sn(A) = Card ( [|1;n|] inter A ). Si A et B sont deux parties de N, on pose A + B = { a+b ; (a,b) appartenant à A*B }

A) Soit A une partie de N.
1) Montrer que {Sn(A)/n ; n appartenant a N*} admet une borne inférieure que l'on notera sigma(A). Verifier que 0 inférieur ou égal à sigma(A) inférieur ou égal à 1.
2) Que vaut sigma(A) si 1 n'appartient pas à A?
3 A quelle condition a-t-on sigma(A) = 1?
4) Si A C B ( B contient A), comparer sigma(A) et sigma(B).
5) Calculer sigma(A) pour les parties A suivantes :
a) A est une partie finie de N
b) A est l'ensemble des entiers pairs
c) A = {p^k ; p appartenant à N} est l'ensemble des puissances k-ièmes ( k entier donné supérieur ou égal a 2).


J'ai cherché mais je ne vois pas ce que représente Sn(A), ce qui pose problème vu que l'exercice porte sur ca...
Pour la question 1) je suppose qu'il faut montrer que Sn(A)/n est minoré, et qu'il existe un minorant qui est le plus grand de l'ensemble des minorants de Sn(A)/n. Sauf que je ne vois pas vraiment comment faire. Je sais que toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure mais je ne sais pas si cette propriété s'applique aussi pour N.
Pour la question 2) je ne vois pas du tout...
Pour la 3) sigma(A) = 1 quand Sn(a) = n cad quand Card( [|1;n|] inter A )=n. Je ne sais pas trop comment interpréter ça : il faut que [|1;n|] et A aient n points communs? et donc que [|1;n|]=A?