Formes quadratiques

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit Q une matrice symétrique réelle de On note le forme bilinéaire associée. Pour tout x et y de :

On note la forme quadratique associée :

Soit V un sous espace vectoriel de on dira que est définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque : respectivement respectivement
On notera l'ensemble des sous espaces vectoriels sur lesquels est définie positive, respectivement et

On pose : et

Soit et montrer que H et G sont en somme directe et que :


Je suis perdu.

[Kolis]

Bonjour !
Je suis perdu aussi quand je vois où est une matrice carrée et des vecteurs de !

De plus, selon ta bonne (plutôt mauvaise) habitude tu donnes un énoncé tronqué. On doit deviner qui est ?

[mehdi-128]

J'ai recopié l'énoncé tel quel j'ai tout vérifié j'ai pas fait d'erreur :
http://www.maths-france.fr/MathSpe/Prob ... Enonce.pdf

[Ben314]

J'ai recopié l'énoncé tel quel j'ai tout vérifié j'ai pas fait d'erreur :
http://www.maths-france.fr/MathSpe/Prob ... Enonce.pdf

Et ben, si c'est ça que tu appelle "vérifier", je comprend mieux le problème : tu capte vraiment pas un traitre mot de ce que tu lit...
Dans l'énoncé original, entre le Qx et le y, il y a un point . qui n'est absolument pas anodin vu que quelque lignes plus haut, il est explicitement précisé que ce point désigne le produit scalaire sur R^n.
Et c'est d'ailleurs (et sauf erreur) la même notation que celle employée au Lycée qu'absolument personne (à part toi....) n'a jamais abrégé en en enlevant le . entre les deux vecteurs...

Bref, n'importe qui qui comprend ce qu'il lit aurait écrit ça :
Pour tout x et y de : où le . désigne le produit scalaire.
Alors que toi, et en plus après avoir "bien vérifié", tu nous écrit ça :
Pour tout x et y de :
Et comble du comble, tu t'étonne qu'on te dise que c'est sans queue ni tête...

Sans parler du fait que, bien évidement, "le vrai" énoncé lui, il précise qui est S (à savoir la sphère unité de R^n) avant de l'utiliser...

[mehdi-128]

D'accord désolé pour l'imprécision.

Y a un truc que je comprends pas la forme bilinéaire d'après le cours elle est à valeur dans R alors qu'ici elle est égale à une matrice Q multiplié par un réel donc une matrice.

est à valeur dans quoi ?

[Pseuda]

D'accord désolé pour l'imprécision.

Y a un truc que je comprends pas la forme bilinéaire d'après le cours elle est à valeur dans R alors qu'ici elle est égale à une matrice Q multiplié par un réel donc une matrice.

est à valeur dans quoi ?

Bonjour,

Tu devrais commencer par ouvrir un livre qui parle des notions que tu manipules. B est une forme bilinéaire de matrice Q (dans la base canonique de R^n). De la même façon qu'une application linéaire a une matrice dans une base, ou un vecteur.

Cela donne tjs une valeur dans R.

Je suis bien gentille de te répondre car personne n'a envie de répondre à ce genre de questions.

[Kolis]

Question de "pinailler" :
L'énoncé original aurait dû écrire au lieu de !

Et je signale à medhi-128 que ce n'est pas la peine d'écrire pour dire ensuite que est le produit d'une matrice par un réel !

[mehdi-128]

Question de "pinailler" :
L'énoncé original aurait dû écrire au lieu de !

Et je signale à medhi-128 que ce n'est pas la peine d'écrire pour dire ensuite que est le produit d'une matrice par un réel !

Ah là c'est déjà mieux je me disais bien qu'une forme bilinéaire est à valeur dans K.

Q est une matrice de Mn(R) donc multipliée par x ça donne une matrice colonne (n lignes une colonne). Si on fait le produit scalaire de Qx avec y ça donne un réel.

[mehdi-128]

Pour le problème je prends soit :

Alors :

Aussi :

Et là je vois pas trop quoi faire.

[Pseuda]

Pour par exemple, d'après l'énoncé, on a , uniquement si est dans la sphère unité. Il faut arranger un peu.

Sinon, la conclusion est immédiate : H et G ne peuvent avoir que le vecteur nul en commun.

[mehdi-128]

Ah donc si alors : ...

Considérons que l'intersection de H et G n'est pas réduite à 0 alors ça voudrait dire que :
Et on a : car et car donc contradiction ....

Donc :

Par contre pour les dimensions j'y arrive pas.

[mehdi-128]

Pouvez-vous m'aider pour montrer que :

[Matt_01]

H et G sont des sev de R^n donc dim(H+G) <= ?
De plus dim(H+G) = ?

[Pseuda]

Je crois qu'il faut aussi remarquer que V+ est inclus dans Vo+.

[mehdi-128]

H et G sont des sev de R^n donc dim(H+G) <= ?
De plus dim(H+G) = ?

D'après le cours F+G est un sous espace vectoriel de donc ;



Or F et G sont en somme directe donc :

Donc :

Mais moi je vois pas comment arriver à :

[mehdi-128]

Je crois qu'il faut aussi remarquer que V+ est inclus dans Vo+.

Comme ça ?



Donc au final j'obtiens :

Il me manque juste le max ...

[Pseuda]

Bonjour,

V+ et V- sont des ensembles de ss-ev, pas des ss-ev, de quel ev ?

Par contre, pour tous H et G appartenant respectivement à V+ et V-, dim H + dim G = dim (H+G) <= n, donc max(dim H) + max (dim G) <= n.

[mehdi-128]

C'est quoi la différence entre sous-espace vectoriel et ensemble de sous espace vectoriel ?

V est un sous espace vectoriel de R^n et V+ est un ensemble de sous espaces vectoriels de non ?

Pour la suite j'ai compris comme c'est valable pour tout x dans V+ ou V- c'est forcément valable pour le max aussi.

[mehdi-128]

On a :

Pourquoi on peut écrire : et pas
Je saisis pas la nuance.

V+ est un ensemble de sous espace vectoriel.

[Pseuda]

Bonsoir,

Par exemple, on se situe dans R^3. Soit D la droite vectorielle de vecteur directeur (1,0,0), P le plan vectoriel de vecteurs directeurs (1,0,1) et (1,1,0).

C'est quoi l'ensemble V={D,P} ? C'est un ensemble formé de 2 éléments qui sont des ss-ev. On n'a même pas défini une loi de composition interne sur V, V est-il un groupe pour cette loi ? ni externe, sur quel corps de scalaires ? Point.