Suites et series

[Vlad-Drac]

Bonjour,
pouvez vous m'aider pour un exercice ? j'ai du mal a comprendre

Exercice 3
On considere la suite (Un) definie e par u0 = 1 et Un+1 = Un + Un²

a) Prouver que lim Un existe et vaut +inf
b) Vérifier que la série de terme général Vn = 1 / (1+Un) est bien définie et converge. A l'aide de la décomposition en éléments simples de 1/X(X+1) , calculer
la série de terme général Vn.

pour le a) j'ai fais Un+1=f(Un) avec f définie par f(X)=X+X² et d'apres le tableau de variation de f, lim f(X) qd x tend vers +inf = +inf est ce que cela suffit pour affirmer que lim Un existe et vaut +inf ?

pour le b) j'ai du mal avec les series definie par recurence comme ca, je ne voit pas trop ce qu'est Vn ? est ce la meme chose que la serie de terme général 1/(1+n+n²) ?


merci d'avance

[chan79]

.

pour le a) j'ai fais Un+1=f(Un) avec f définie par f(X)=X+X² et d'apres le tableau de variation de f, lim f(X) qd x tend vers +inf = +inf est ce que cela suffit pour affirmer que lim Un existe et vaut +inf ?



merci d'avance

Salut
Montre plutôt par récurrence que

[Ben314]

Salut,

pour le a) j'ai fais Un+1=f(Un) avec f définie par f(X)=X+X² et d'apres le tableau de variation de f, lim f(X) qd x tend vers +inf = +inf est ce que cela suffit pour affirmer que lim Un existe et vaut +inf ?

Et je rajouterais bien que, non seulement "ça ne suffit pas", mais que c'est le zéro assuré à la question vu que la limite quand n->oo de Un définie par U(n+1)=f(Un) n'a absolument rien à voir avec la limite quand X tend vers l'infini de f(X).

Tu peut m'expliquer quel raisonnement (évidement faux...) tu fait pour penser qu'il y a un quelconque lien entre ces deux limites ?

[Vlad-Drac]

c'est vrai au rang n, pour n = 0 U(n)= 1
au rang n+1 on a
pour n > 0
Un>n
Un+Un²>n+n²
Un+1>n(n+1)>n+1
donc Un>n pour tout n
est ce correct ?

[Vlad-Drac]

Pour le b)
la decomposition en elements simple de 1/X(X+1) est egale à 1/X - 1/(X+1)
J'imagine que c'est une serie téléscopique mais je n'arrive pas a faire le lien entre Vn et Un

[Pseuda]

Bonjour,

Pour la a), prends des exemples de fonctions : f(x)=x ou x^2/2 ou ln(x) qui tendent vers +infini. La première donne une suite stationnaire à 1, la 2ème tend très vite vers 0, pour la dernière, Un n'est même plus définie à partir du rang 3.

Pour la b), calcule 1/U(n+1).

Sinon la récurrence est correcte grosso modo.

[aviateur]

Voir le lien où tu as posé la même question
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/805119-series.html

[pascal16]

On peut le faire avec le théorème du point fixe, mais il faut bien comprendre les implications :

u0 = 1 et Un+1 = Un + Un²
est définie par une relation du type Un+1 = f(Un) avec f(x) = x + x²

f est continue sur R
SI la suite converge, elle converge vers une limite qui vérifie l=l+l²
la suite ne peut converger que vers l=0
pour le fun : de plus f'(0) = 1, on est dans le cas limite du point absorbant.
Il faut donc ruser.
si U0 est strictement positif, Un est croissante et ne peut tendre vers 0, elle diverge, de plus, comme elle est croissante, elle diverge vers +oo (j'aime pas dire qu'elle converge vers +oo si on a pas fixé à R barre les valeurs prises au départ).

au passage, il me semble que si Uo est dans [-1;0] la suite converge vers 0, sinon, elle diverge vers +oo