Système et trigonométrie - besoin d'aide [résolu]

[matio]

Bonjour,

J'étudie actuellement un projet mécanique et j'ai besoin d'aide pour un système d'équation de trigonométrie qui est de la forme:



avec a, b, c, d, e et f qui sont des constantes et x et y nos inconnues.

à priori vu le modèle que j'étudie, il semblerait que ce système ait deux solutions.



J'ai pas mal tourné en rond ces derniers jours:

-Je me retrouve soit avec des coeficients gênants devant mes identités remarquables:



avec A qui est une constante:



-Soit je me retrouve avec des ce qui ne me permet pas d'isoler mes inconnues.

-Et avec la forme exponentielle je bloque ici:



Il y a peut être quelque chose à faire entre les crochets...

Avec des développements limités ça semble possible mais pas très élégant... En plus j'aurais besoin des expressions exactes, de préférence une forme trigonométrique.


Merci par avance pour votre aide.

matio

[nodgim]

As tu tenté de remplacer cosx par X et cosy par Y ?

[matio]

Merci pour votre réponse.

Oui, mais si je fais cela je me retrouve avec 4 inconnues vu que j'ai que je cherche, or cela ne m'avance pas trop...

[chan79]

Pas sûr que ça puisse aider ...
On peut exprimer cos(x) en fonction de cos(y) et sin(x) en fonction de sin(y).
En écrivant cos²(x)+sin²(x)=1 et en posant t=tan(x/2), on aboutit à une équation de degré 4 en t.
Avec (a,b,c,d,e,f)=(5,6,3,3,1,1), on a, parmi les solutions (valeurs approchées):

[Ben314]

Salut,
C'est pas archi compliqué à résoudre, surtout si on cherche à avoir une vision géométrique du problème :
Le point de coordonnées (a.cos(x) ; c.sin(x)), c'est un point quelconque (car x est inconnu) situé sur l'ellipse centré en (0,0) et ayant des axes parallèles aux axes du repère de longueur respective 2a et 2c.
De même le point de coordonnées (e-b.cos(y) ; f-d.c.sin(y)), c'est un point quelconque situé sur l'ellipse centré en (e,f) et ayant des axes parallèles aux axes du repère de longueur respective 2b et 2d.
Bref, ton problème ça revient à chercher l'intersection de deux ellipses et il peut y avoir entre 0 et 4 solutions (le plus fréquemment 0, 2 ou 4 vu que 1 ou 3, ça correspond à des cas exceptionnels où les ellipses sont tangentes)

Concernant la façon de mener le calculs, le point de vue géométrique aide moyennement, sauf que ça te dit quand même qu'il faut s'attendre à résoudre un truc du 4em degré vu qu'il peut y avoir jusqu'à 4 solutions.

Après, au niveau calcul, je pense qu'il faut passer par des équations cartésiennes des coniques, c'est à dire en fait par des équations cartésiennes du cercle trigo.
Au niveau calculs, ça revient à remplacer le couples (cos(x), sin(x)) [= équation paramétrique du cercle trigo.] par le couple (u,v) tel que u²+v²=1 [= équation cartésienne du cercle trigo]. De même tu écrit que (cos(y), sin(y))=(u',v') avec u'²+v'²=1.
Ton système devient alors
En supposant et non nuls (on regardera éventuellement les cas particuliers ensuite), les deux premières te donnent u' et v' en fonction de u et v.
Tu injecte ça dans la 4em et tu développe : ça te donne une relation avec du u², v², u, v (et des constantes).
La 3em équation te dit que v²=1-u² que tu utilise dans la relation précédente pour avoir une relation entre u²,u et v (mais pas de v²) et qui te permet d'écrire v en fonction de u et u².
Enfin, tu injecte ça dans la relation u²+v²=1 et ça te donne une équation du 4em degré en u et ça n'a rien de surprenant vu le "point de vue géométrique" sus mentionné.
Y'a plus qu'à résoudre (a priori de façon numérique et pas exacte vu que les soit disant formules exactes qu'on a pour le 4em degré sont assez délirantes)

P.S. Si vraiment tu y tient, je peut (avec Maple) te donner l'équation du 4em degré vérifié par u.

P.S.2 : J'avais pas vu le message de Chan qui dit la même chose.

EDIT : Après calculs avec Maple, le polynôme, c'est ça :
(b^2*c^2+2*b^2*c*f-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2)*(b^2*c^2-2*b^2*c*f-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2)
- 4*a*d^2*e*(b^2*c^2-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2) * u
+(2*a^2*b^2*c^2*d^2-2*a^2*b^2*d^4+2*a^2*b^2*d^2*f^2+6*a^2*d^4*e^2-2*b^4*c^4+2*b^4*c^2*d^2+2*b^4*c^2*f^2-2*b^2*c^2*d^2*e^2) * u^2
- 4*a*d^2*e*(a*d-b*c)*(a*d+b*c) * u^3
+ (a*d-b*c)^2*(a*d+b*c)^2 * u^4
donc il s'avère que, si ad-bc=0 ou bien ad+bc=0, alors l'équation en u n'est que de degré 2, mais je sais pas bien à quoi ça correspond géométriquement...
EDIT 2 : Si, je sais : ça correspond à dire que les deux ellipses ont le même rapport petit_axe/grand_axe (en valur absolue bien sûr) donc qu'elles sont en fait homothétiques l'une de l'autre.
Et dans ce cas, effectivement, il y a au max deux solutions (et on peut résoudre bien plus simplement le système)

[matio]

Ok, merci beaucoup pour vos deux réponses. Je pense qu'elles vont bien m'aider pour résoudre mon problème.

Je suis assez étonné que ce soit du 4 ème degré vu que mon système mécanique est stable entre 1 et 2 états à priori.
Est-il possible qu'il s'agisse d'un cas particulier? Car je ne vois aucun point dans lequel mon système a 3 ou 4 positions possible.
Peut être qu'avec les ensembles de définition de mes constantes le nombre de solution diminue...

En tout cas ça fait appel à pas mal de nouvelles choses pour moi, je vais travailler dessus cette semaine et je vous tiens au courant.

Merci Ben314 pour la proposition avec maple, mais je vais essayer de me débrouiller avec Maxima.

EDIT: OK, merci Ben, je viens de voir que dans mon problème a=c et b=d... x) Donc bravo, tu as raison sur l'homothéticité des deux constantes!
Je devrais m'en sortir finalement, merci beaucoup!

[Ben314]

Si a=c et b=d, il y a éventuellement plus simple, mais tu peut suivre au pied de la lettre la méthode mentionnée dans le précédent post.
Là où ça va grandement se simplifier, c'est là :

En supposant et non nuls (on regardera éventuellement les cas particuliers ensuite), les deux premières te donnent u' et v' en fonction de u et v.
Tu injecte ça dans la 4em et tu développe : ça te donne une relation avec du u², v², u, v (et des constantes)...

vu la symétrie sur les coeff., dans l'équation en u², v², u, v (et des constantes) tu va avoir le même coeff. devant le u² que celui devant le v² donc la relation u²+v²=1 te permet non seulement de faire disparaitre les v², mais aussi les u² et tu te retrouve avec une simple équation de la forme v=cst.u + cst. qui, injecté dans u²+v²=1 donne effectivement une équation du 2nd degré et pas du 4em. :
4*a^2*(e^2+f^2) * u^2
- 4*a*e*(a^2-b^2+e^2+f^2) * u
+ (a^2-2*a*f-b^2+e^2+f^2)*(a^2+2*a*f-b^2+e^2+f^2)
= 0

[matio]

OK, du coup pour résumer, si on redéfini les constantes on a obtient un système comme celui-ci:



On défini:



On se retouve donc avec:



Puis:



Comme on a isolé u', v' et v^2, on les injecte dans la 4ème équation du système, ce qui permet d'exprimer u en fonction de v et v en fonction de u:



On injecte les résultats dans la 3ème équation du système pour trouver des équations du second degré (2 solutions) qu'il ne reste plus qu'à résoudre.
Ca donne ça (sous réserve d'erreur de calcul...):



En fait l'erreur que j'ai faite c'était de ne pas intégrer et dans le système d'équation. Une fois fait c'est effectivement plus facile.
Par contre par simple curiosité, je n'ai pas vraiment compris l'intéret d'intégrer dans le post de chan79? Je marque le sujet comme résolu.

[Ben314]

La méthode de Chan, au niveau des calculs, ça doit être pas mal différents, mais au niveau "philosophique" on peut dire qu'il y a des points communs avec ce que j'ai proposé ensuite :
Les systèmes d'équations, on a une "théorie quasi parfaite" dans le cas où ils sont linéaire (les inconnues sont juste multipliées par des constantes)
On s'en sort plus ou moins bien (et avec difficulté) lorsque les équations sont polynomiales via la théorie dite "des résultants".
On sait vraiment pas quoi faire si c'est même pas polynomial donc par exemple avec des fonction "cosinus", "exponentielle" ou "logarithme" (de toute façon, même avec une simple équation à une inconnue du style cos(x)=x, ben on sait pas le résoudre de façon exacte...)
Donc le premier truc à essayer de faire, c'est de virer les fonction trigo. pour avoir à la place des équations polynomiales. Et là, effectivement, deux approches différentes :
- Celle que j'ai proposé consistant à juste renommer le sin et le cos et à rajouter l'équation sin²+cos²=1 de façon à "faire le lien" entre les deux.
- Ou bien trouver une façon d'exprimer le sin et le cos à l'aide de fonction polynomiales et là, la façon de procéder est dans (quasi) tout les manuels de trigo : on pose t=tan(x/2) et on a cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) et sin(x)=2t/(1+t^2) [modulo que le point (cos(x),sin(x)) soit différent de (-1,0) qui "correspond" plus ou moins à t=+oo)
Si tu pose de même s=tan(x/2), ton système peut s'écrire

qui est bien polynomial (modulo bien sûr de réduire au même dénominateur).
Vu qu'avec l'autre méthode, on se ramène au final à un système d'une seule équation de degré 2, avec ce système là, ça doit être faisable aussi.

[matio]

Okkk! Je comprends bien maintenant l'histoire de la tangente. J'ai appris pas de choses ce week-end grace à toi.

Je te redis sincèrement merci pour les explications que tu m'as apporté, c'était très clair. Super idée aussi de l'expliquer de manière géométrique avec les élipses!

Le forum a l'air vraiment top, je crois que je vais y passer pas mal de temps!