Salut,
C'est pas archi compliqué à résoudre, surtout si on cherche à avoir une vision géométrique du problème :
Le point de coordonnées (a.cos(x) ; c.sin(x)), c'est un point quelconque (car x est inconnu) situé sur l'ellipse centré en (0,0) et ayant des axes parallèles aux axes du repère de longueur respective 2a et 2c.
De même le point de coordonnées (e-b.cos(y) ; f-d.c.sin(y)), c'est un point quelconque situé sur l'ellipse centré en (e,f) et ayant des axes parallèles aux axes du repère de longueur respective 2b et 2d.
Bref, ton problème ça revient à chercher l'intersection de deux ellipses et il peut y avoir entre 0 et 4 solutions (le plus fréquemment 0, 2 ou 4 vu que 1 ou 3, ça correspond à des cas exceptionnels où les ellipses sont tangentes)
Concernant la façon de mener le calculs, le point de vue géométrique aide moyennement, sauf que ça te dit quand même qu'il faut s'attendre à résoudre un truc du 4em degré vu qu'il peut y avoir jusqu'à 4 solutions.
Après, au niveau calcul, je pense qu'il faut passer par des équations cartésiennes des coniques, c'est à dire en fait par des équations cartésiennes du cercle trigo.
Au niveau calculs, ça revient à remplacer le couples (cos(x), sin(x)) [= équation paramétrique du cercle trigo.] par le couple (u,v) tel que u²+v²=1 [= équation cartésienne du cercle trigo]. De même tu écrit que (cos(y), sin(y))=(u',v') avec u'²+v'²=1.
Ton système devient alors
En supposant
et
non nuls (on regardera éventuellement les cas particuliers ensuite), les deux premières te donnent u' et v' en fonction de u et v.
Tu injecte ça dans la 4em et tu développe : ça te donne une relation avec du u², v², u, v (et des constantes).
La 3em équation te dit que v²=1-u² que tu utilise dans la relation précédente pour avoir une relation entre u²,u et v (mais pas de v²) et qui te permet d'écrire v en fonction de u et u².
Enfin, tu injecte ça dans la relation u²+v²=1 et ça te donne une équation du 4em degré en u et ça n'a rien de surprenant vu le "point de vue géométrique" sus mentionné.
Y'a plus qu'à résoudre (a priori de façon numérique et pas exacte vu que les soit disant formules exactes qu'on a pour le 4em degré sont assez délirantes)
P.S. Si vraiment tu y tient, je peut (avec Maple) te donner l'équation du 4em degré vérifié par u.
P.S.2 : J'avais pas vu le message de Chan qui dit la même chose.
EDIT : Après calculs avec Maple, le polynôme, c'est ça :
(b^2*c^2+2*b^2*c*f-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2)*(b^2*c^2-2*b^2*c*f-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2)
- 4*a*d^2*e*(b^2*c^2-b^2*d^2+b^2*f^2+d^2*e^2) * u
+(2*a^2*b^2*c^2*d^2-2*a^2*b^2*d^4+2*a^2*b^2*d^2*f^2+6*a^2*d^4*e^2-2*b^4*c^4+2*b^4*c^2*d^2+2*b^4*c^2*f^2-2*b^2*c^2*d^2*e^2) * u^2
- 4*a*d^2*e*(a*d-b*c)*(a*d+b*c) * u^3
+ (a*d-b*c)^2*(a*d+b*c)^2 * u^4donc il s'avère que, si ad-bc=0 ou bien ad+bc=0, alors l'équation en u n'est que de degré 2, mais je sais pas bien à quoi ça correspond géométriquement...
EDIT 2 : Si, je sais : ça correspond à dire que les deux ellipses ont le même rapport petit_axe/grand_axe (en valur absolue bien sûr) donc qu'elles sont en fait homothétiques l'une de l'autre.
Et dans ce cas, effectivement, il y a au max deux solutions (et on peut résoudre bien plus simplement le système)
