Produit de convolution et transformée de laplace

[Nul64]

Bonsoir,
Je bloque sur cet exercice où il faut résoudre l'équation intégrale suivante pour arriver à .
J'ai écrit quelques lignes mais je sens que quelque chose m'échappe

[aviateur]

Bonjour, Formellement ce que tu as écrit est correct mais tu n'arrives pas à la solution.
Mais puisque tu donnes la réponse, voici d'où elle vient:
Je pose . D'où
Posons
On vérifie facilement que c'est à dire que
(mesure de Dirac).

Maintenant l'équation c'est : donc On multiplie chaque membre par k :
Il vient
Cette dernière égalité étant la solution demandée.

[Nul64]

Bonsoir et merci beaucoup pour votre réponse.

Je n'arrive pas à comprendre comment vous passez d'une égalité à l'autre ci-dessous :

Maintenant l'équation c'est : donc

En vous remerciant.

[aviateur]

est une propriété bien connue du produit de convolution.
Bien entendu, je me suis placé dans un cadre plus large que le cas classique.
C'est à dire que f,h et g sont des distributions et les dérivées et produits de convolution sont considérées dans ce cadre là.
Maintenant je ne sais pas très bien à quel niveau se situe votre question. En effet, il se peut très bien qu'elle soit posée dans un cadre plus restreint que l'espace des distributions mais alors dans un cadre classique il manque à votre exercice des hypothèses sur g, n....? Sans ces hypothèses je ne peux pas expliquer pourquoi
En effet, pour des fonctions f et h on a
Vous voyez sans hypothèses précises nous avons un problème: que devient le terme f(t) h(0)?
D'autant plus qu'ici h(t)=1/t^n, que devient h(0) si n=1/2? Remarque ici j'entends

[Nul64]

Je n'ai jamais vu cette propriété sur le produit de convolution.
Voici les conditions : 0<n<1 n appartient aux réels, g est causale comme toutes les fonctions qu'on étudie et est supposée dérivable et l'on a g(0+)=0.
Merci pour votre patience.

[aviateur]

Rebonjour, avec cette hypothèse sur g on a (car ) et on a


Donc on peut continuer avec ce que vous avez fait: on a alors


En prenant la transformée de Laplace inverse de cette dernière égalité on obtient directement le résultat.

[Nul64]

Ok merci beaucoup pour ton aide.