Fonction

[sandrine_guillerme]

Bonjour tout le monde ,

J'ai une question assez délicate à poser, et surtout au niveau de la démonstration,
Soit une fonction croissante montrer qu'il existe [0,1] tel que

Je signale que cette question, peut être faite très rapidement et avec élégance si on a quelque notions de topologie ( connexité, réuinion de deux ouverts enfin j'essais de lire le programme de licence) donc étant donner qu'on a pas le droit d'utiliser ça car je suis en DEUG, vos idées élémentaires sont vraiment les bienvenues ..
Merci beaucoup à tous ceux qui vont m'aider :++:

[Zebulon]

Bonjour,
il ne manquerait pas par hasard l'hypothèse de continuité?!
En effet, la fonction est un contre-exemple...

[Zebulon]

Oups! J'ai oublié la croissance... :briques:

[yos]

Par l'absurde, on partitionne [0,1] en I et J selon que f(x)>x ou f(x)I et J sont non vides (évident).
On prend la borne sup A de I et on regarde si A est dans I ou pas. Tu devrais pouvoir mettre à jour une contradiction.

[sandrine_guillerme]

donc par absurde , on suppose qu'il n' a pas de solution tel que est un point fixe dans ..
on commence par partitionner en I et J selon que f(x)x .. vous aurriez un exemple ?
Merci ..

[yos]

C'est un exercice un peu subtil et je ne pense pas qu'on puisse faire beaucoup plus simple .
I est l'ensemble des réels x de [0,1] tels que f(x)>x.
On suppose que f n'a pas de point fixe.
Alors donc I est non vide; de plus I est majoré par 1, donc I possède une borne supérieure A.
Il est clair que I est stable par f car entraîne f(x)>x, donc par croissance de f, , mais f(x) n'est pas fixé par f, donc l'inégalité précédente est stricte. Par conséquent .
Qu'en est-il de A?
Si , alors f(A)>A et , ce qui est absurde pour la borne sup de I.
Donc A n'est pas dans I, donc f(A)t et f(t)t (clairement absurde).

[sandrine_guillerme]

Raisonnement très élégant .. un grand bravo yos .. que pense tu de ce raisonnement ..

Soit f: [a,b]->[a,b]. (par absurde comment toi d'ailleurs)
Supposons que f n'a pas de point fixe.

Considérons E = {c [a,b] tq pour tout x [a,c], f(x)>x}.
E est une partie non vide de R (a est dedans puisque f(a)>a) et majorée par b.
Donc E admet une borne sup c.

Notons e = f(c) - c.

1er Cas e > 0 implique f(c)>c:
(NB: on a alors c 0).
On a x>c et f(x) a)

Soit x dans [c+e,c[ inter [a,b] (non vide car c > a). On a f(x) > x > c+e = f(c) (car c=sup E).
Ainsi xf(c) donc f n'est pas croissante sur [a,b].

Dans tous les cas f n'est pas croissante.
D'où par contraposition f croissante => f a un point fixe.

tu peux prendre [a,b]=[0,1] mais je ne vois pas du tout pourquoi on ne peut pas le généraliser même si la fonction n'est pas continue ?

[yos]

Les idées sont les mêmes. Ton ensemble E est un peu différent de mon ensemble I. Dans le premier cas c+e n'est autre que f(c) et tu vois bien la ressemblance avec ce que je t'ai dit. Bravo.

[sandrine_guillerme]

C'est vrai que c'est un exercice assez tordu .. et trempeur car on n'a tendance à appliquer le thèorème des valeurs intermédiaire .. mais on ne peut pas car f n'est pas forcèment continue on voit mieux le tout dans un dessin ..

Bom bah merci bien et bon courage

[B_J]

exercice 9 de cete page
http://www.mathprepa.com/
---> contribs --->5) nombres reels

[sandrine_guillerme]

Merci Beaucou pour le lien .. :!