Terminale S - Polynome du 3ème degré - Nombres complexes

[Rif]

Salut, j'ai un DM pour demain que j'ai déjà fini (6exercices) sauf le dernier exo (qui a l’énoncé la plus courte).
Ca fait un moment que je cherche mais je trouve pas et c'est en dernier recours que je suis venu ici demander de l'aide.

"Résoudre dans C, l'équation suivante:
(z^3)+2(1+i)(z^2)+4(1+i)z+8i=0
sachant qu'il y a une racine imaginaire pure."


Ps: C'est la première fois que je demande de l'aide sur un forum de math, donc je ne connait pas les règles en vigueur, désolé d'avance ^^ Et merci d'avance pour vos réponses.

[chan79]

Bonsoir rif et bienvenue sur ce forum
Puisqu'il y a une racine imaginaire pure, cherche un réel non nul k tel que k*i soit solution.
Remplace z par k*i

[anthony_unac]

Bonsoir,
Si vous êtes au lycée, sachez (par expérience) que dans la majorité des exercices de ce genre, il y a au moins une racine évidente appartenant à l'ensemble
Ici en l’occurrence, l'auteur vous guide vers une racine imaginaire pure (ce qui ne l'empêche pas d'être évidente)

[Rif]

@chan79
Merci
Je me suis dit la même chose au sujet d'une racine devait être de la forme k*i avec k nombre réel et malgré ça je suis toujours bloqué. Que voulait vous dire par

Remplace z par k*i

?
@anthony_unac
Ah merci beaucoup pour ce rappel, mon prof de math m'avait fait la même remarque mais ça m'était sorti de la tête.

[annick]

Bonjour,

si tu as une racine imaginaire pure, elle est de la forme ib.

Tu peux donc factoriser ton expression par (z-ib)(z²+az+c).

Il te suffit développer ce produit et de l'identifier à ton expression de départ pour trouver les coefficients a, b et c.

Ensuite tu résous z²+az+c =0 pour trouver toutes les solutions.

[anthony_unac]

Trouvez donc cette racine imaginaire pure évidente (facile il n'y a que 5 cas à tester) et vous comprendrez la remarque de chan79

[annick]

Quel beau tir groupé dans un mouchoir de poche pour te répondre !!!

[Rif]

J'ai trouvé la racine imaginaire pur grâce à la méthode de anthony_unac qui est 2i, malheureusement je pense pas que sur ma copie peux me permettre d'écrire "en tâtonnant quelques valeurs j'ai trouvé S={2i}".
@annick
Merci !!!

[anthony_unac]

oh à partir d'un certain degré ça finit souvent comme ça, après tout est dans la manière de rédiger

[anthony_unac]

Attention par contre l'ensemble des solutions ne peut pas être S={un truc}. Vous avez un polynôme de degré 3 donc vous avez nécessairement 3 racines

[anthony_unac]

Je reviens vers vous pour vous confirmer que la méthode suggérée par chan79 et annick est plus propre et il y a fort à parier que ce soit ça que le professeur attende de vous en terme de raisonnement ...

[Rif]

En utilisant la mèthode de chan79, je trouve

J'ai tenté de vérifié mes résultats et j'ai faux...
Des idées de ou j'ai commis une erreur ?

[anthony_unac]

Il semblerait que le signe du dernier terme de la seconde ligne soit faux !

[Rif]

Ah j'ai compris mon erreur et enfin réussi l'exo ! Ca serait trop long de tout réécrire la réponse ici mais je suis sûr d'avoir bon (grâce à la vérification).
Merci à tous pour votre aide !

[anthony_unac]

Merci à vous !
Merci de travailler, d'essayer de rédiger quelquechose (même si ça échoue parfois)
Merci de nous remercier (et oui ça devient rare aussi)
Merci d'être et d'agir de la sorte (ça rassure)

[Rif]

Ca devient si rare que ça, la politesse ? ^_^
A titre d'information (et si d'autre personne tombe sur ce sujet plus tard), je trouve comme solution
S={-1-iV3;-1+iV3;2i}

[chan79]

c'est -2i

[annick]

Merci à vous !
Merci de travailler, d'essayer de rédiger quelquechose (même si ça échoue parfois)
Merci de nous remercier (et oui ça devient rare aussi)
Merci d'être et d'agir de la sorte (ça rassure)

Quelle belle conclusion pour un élève qui effectivement nous permet de savoir pourquoi nous continuons à fréquenter ce forum.

Et puis je suis d'accord avec toi anthony, les remerciements sont valables dans les deux sens car chacun, à la place qui est la sienne, trouve son compte dans les échanges que nous avons sur ce forum.

[Lostounet]

Merci à vous !
Merci de travailler, d'essayer de rédiger quelquechose (même si ça échoue parfois)
Merci de nous remercier (et oui ça devient rare aussi)
Merci d'être et d'agir de la sorte (ça rassure)

Quelle belle conclusion pour un élève qui effectivement nous permet de savoir pourquoi nous continuons à fréquenter ce forum.

Et puis je suis d'accord avec toi anthony, les remerciements sont valables dans les deux sens car chacun, à la place qui est la sienne, trouve son compte dans les échanges que nous avons sur ce forum.

Quelle belle réaction à la belle conclusion de l'élève qui nous permet de savoir pourquoi nous fréquentons ce forum mais aussi pourquoi on le modère depuis des années