Ecart-type

[zygomatique]

je parle de dimension ou des unités :

si x est en m(ètres) alors :

la moyenne est en m

la variance est en m²

l'écart type est en m

[Skullkid]

Ce qui est paradoxal, c'est que l'écart moyen paraît intuitivement le plus naturel, alors qu'en fait, mathématiquement, c'est l'écart-type qui l'est.

Je dirais plutôt que l'écart-type est plus pratique ou plus puissant. La seule additivité de la variance (encore une fois, l'écart-type c'est juste la variance re-dimensionnalisée) pour des variables indépendantes est un atout considérable. C'est d'ailleurs assez général : une somme de valeurs absolues se comporte moins bien qu'une somme de carrés.

Et si on s'autorise à regarder un peu au-delà des probas, typiquement du côté des moindres carrés, alors les arguments listés par Sylviel jouent encore plus en faveur de la variance.

[Pseuda]

Ce qui est paradoxal, c'est que l'écart moyen paraît intuitivement le plus naturel, alors qu'en fait, mathématiquement, c'est l'écart-type qui l'est.

Je dirais plutôt que l'écart-type est plus pratique ou plus puissant. La seule additivité de la variance (encore une fois, l'écart-type c'est juste la variance re-dimensionnalisée) pour des variables indépendantes est un atout considérable. C'est d'ailleurs assez général : une somme de valeurs absolues se comporte moins bien qu'une somme de carrés.

Et si on s'autorise à regarder un peu au-delà des probas, typiquement du côté des moindres carrés, alors les arguments listés par Sylviel jouent encore plus en faveur de la variance.

Bonsoir,

Ah la voilà la raison ! La variance s'additionne pour des variables indépendantes (ce qui semble logique et normal), alors que l'écart moyen ou son carré, peut-être pas. Il reste à vérifier ce dernier point...

Ma question, ce n'est pas si l'écart-type est plus pratique, se comporte mieux ou moins bien, que l'écart moyen (il est indéniable que cela l'est), c'est pourquoi l'écart-type est la mesure de dispersion "naturelle" (car, comme je l'ai déjà dit plus haut, c'est un paramètre de la loi normale, etc...).

[Skullkid]

Ah la voilà la raison ! La variance s'additionne pour des variables indépendantes (ce qui semble logique et normal), alors que l'écart moyen ou son carré, peut-être pas. Il reste à vérifier ce dernier point...

Oui tu peux le voir simplement avec une variable qui vaut 1 ou -1 avec proba 1/2. L'écart moyen est 1, et si tu prends la somme de deux variables indépendantes qui suivent cette loi, l'écart moyen de la somme est aussi 1.

[Pseuda]

Bonsoir,

Merci Skullkid. Si on continue sur cet exemple, on peut voir que si on répète l'expérience 1,2,3,4,5 fois de manière indépendante, l'écart moyen de la variable aléatoire somme vaut respectivement 1; 1; 3/2; 3/2; 15/8, et la variance vaut 1; 2 ;3 ;4 ;5.

Donc l'écart moyen ne vérifie pas l'assertion que la somme des écarts fait l'écart de la somme (que vérifie la variance), ni son carré non plus, ce qui montre encore une fois la supériorité de l'écart-type.

J'étais partie sur une variable qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p, répétée 2 fois, et le constat est le même : les écarts moyens ne s'additionnent pas, ni leurs carrés.

L'écart moyen se comporte mal, moins bien que l'écart-type. Mais cela ne montre pas que l'écart-type est la seule mesure de dispersion qui se comporte bien dans les calculs.

Toutefois la convergence vers la loi normale de l'addition d'une infinité de variables aléatoires (quelque soit leurs lois), est peut-être une conséquence de l'addition des variances.

A maints égards, l'écart-type est supérieur (et même plus que cela, fondamental) : facilité des calculs, addition des variances, convergence vers la loi normale. Le problème est : pourquoi ???? Comment peut-on en donner une définition qui soit convaincante ?