Sous espace vectoriel des matrices triangulaires

[ArtyB]

Bonsoir,

J'ai un petit problème de dimension,

Si on considère l'ensemble des matrices réelles carrées de taille nxn, on peut dire qu'il y a matrices triangulaires et donc comme il y a autant de matrices triangulaires supérieures qu'inférieures ie matrices triangulaires supérieures ?
Mais combien y a-t-il de matrices triangulaires supérieures strictes ?

Cordialement,

ArtyB

[Robot]

Il suffit de compter le nombre d'emplacements libres où on peut mettre les coefficients que l'on veut.

[ArtyB]

Comme on est dans l'espace des matrices carrées nxn, il y a n espaces libres, mais ensuite on l'ajoute comment ce n ?

[Pseuda]

Comme on est dans l'espace des matrices carrées nxn, il y a n espaces libres, mais ensuite on l'ajoute comment ce n ?

Hum, l'ensemble des matrices triangulaires n'a pas la dimension que tu dis (ce n'est d'ailleurs pas un e-v).

A mon avis, il faut distinguer la dimension des triangulaires supérieures, des triangulaires inférieures, de celles qui sont les 2 à la fois (les diagonales), tu dois retrouver la dimension nxn.

[Robot]

Tu confonds dimension de l'espace et nombres de matrices, et tu as fait un joyeux mélange avec les matrices triangulaires comme l'a écrit PSEUDA.
Pour les matrices triangulaires supérieures strictes, les emplacements libres dans la matrice sont ceux qui sont situés strictement au-dessus de la diagonale. Il n'y en a sûrement pas n, voyons !

[ArtyB]

Oui au temps pour moi je pensais que la dimension de l'espace qui comprenait les matrices était en fait le nombre de matrices contenu dans l'espaces.

Reprenons, soit E l'ensemble des matrices triangulaires supérieures, E est un sev de dimension , j'ai bon jusque là ?

[Robot]

Ca, c'est correct. Saurais-tu argumenter ta réponse de façon impeccable ?

[ArtyB]

Je pense que j'ai su mais là j'avoue que c'est surtout quelque chose dont je me souviens sans vraiment savoir d'où ça vient.

Donc si on s'intéresse aux matrices triangulaires supérieures strictes, ce sont les éléments de E dont la diagonale est nulle et soit F leur espace, on a ie

[Robot]

Essaie de savoir d'où ça vient. Réfléchis ! Et trouve la dimension de l'espace des matrices triangulaires supérieures strictes.

[ArtyB]

C'est ce à quoi je m’escrime depuis le petit déjeuner....
Je n'arrive pas à comprendre d'où ça vient même si ça fait sens dans ma tête
En intuitivement je dirais pour les matrices triangulaires strictes mais de là à ce que ça soit vrai hahaha

[Robot]

La dimension d'un espace est le nombre d'éléments d'une base de cet espace.
Il y a une base de l'espace des matrices triangulaires supérieures qui se voit comme un nez au milieu de la figure (indication tout de même, pour si tu as mauvaise vue : penser aux matrices élémentaires).

[ArtyB]

Une base des matrices triangulaires supérieures est donc composée de n éléments ?

[Robot]

Tu écris n'importe quoi, au hasard ?

Une base des matrices triangulaires supérieures est donc composée de n éléments ?

Une base d'un espace vectoriel de matrices est une liste de matrices de cet espace.
Tes doivent donc être des matrices triangulaires supérieures. De quelles matrices s'agit-il ?