Espérance, variance et covariance.
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Utoya
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par Utoya » 10 Fév 2016, 21:54
Bonsoir,
Je bloque sur une question et j'aurais donc besoin d'un peu d'aide de votre part. Si vous pouviez jeter un coup d'oeil sur ce que j'ai fait (pour voir s'il n'y a pas d'erreur) et m'indiquer le chemin à suivre à l'endroit où je suis bloqué, ce serait super !
L'énoncé nous dit que :
est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre 
)
Il est demandé de calculer
)
,
)
et
)
.
Calcul de :
 = E(f(aX+b)) = \sum_{k=0}^{1}{f(ak+b)}P([X=k]))
 = f(b)P([X=0])+f(a+b)P([X=1]))
 = \frac{1}{2}f(b)+\frac{1}{2}f(a+b))
 = \frac{1}{2}\left( f(b)+f(a+b)\right))
Calcul de :
Pour ce faire, j'utilise ici la formule de König-Huygens qui nous dit que :
=E(Z^2)-(E(Z))^2)
.
 = E(f(aX^2+b)) = \sum_{k=0}^{1}{f(ak^2+b)}P([X=k]))
 = \frac{1}{2}\left(f(b)+f(a+b) \right))
Ainsi :
 = \frac{1}{2}\left(f(b)+f(a+b) \right)- \frac{1}{4}(\left(f(b)+f(a+b) \right)^2)
Enfin, calcul de :
C'est ici où je bloque.
On sait d'après le cours que :
 = E(YZ) - E(Y)E(Z))
Sachant que
=\frac{a}{2})
, on a donc
E(Z) =\frac{a}{4}\left(f(b)+f(a+b) \right))
Mais pour
)
, je ne sais pas.
 = E(aXf(aX+b)) \: ???)
Peut-être faut-il se lancer sur une double somme ?
Merci d'avance
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Ben314
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par Ben314 » 10 Fév 2016, 22:04
Salut,
Tout le début est juste (on pourrait éventuellement aller un peu plus vite, mais bon...)
Utoya a écrit:Mais pour
, je ne sais pas.
Là, c'est bon aussi, mais ce n'est pas une "double somme", mais une "simple somme".
Il semblerais que ce soit le fait que le X apparaissent deux fois qui te pose problème, mais c'est pas un problème : tu as bien calculé précédemment E(Z²)=E( f(aX+b) x f(aX+b) ) sans te poser de questions...
Là, c'est pareil : le X il a deux valeurs possible, 0 et 1 avec des proba respectives de 1/2 et 1/2 donc ...
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Utoya
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par Utoya » 10 Fév 2016, 22:16
Donc si je comprends bien :
 = E(aXf(aX+b)) = \sum_{k=0}^{1}{akf(ak+b)}P([X=k]))
 = \frac{af(a+b)}{2})
Aussi simple soit-il ?
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Ben314
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par Ben314 » 10 Fév 2016, 22:22
Oui, c'est bien ça.
Il faut un peu faire attention au fait que, souvent, quand on calcule E(YZ) ou des trucs du même style, les variables aléatoire Y et Z sont "un peu différentes" ç'est souvent une double somme vu qu'il faut envisager toutes les valeurs de Y et toutes celle de Z, mais là, ce n'est pas le cas vu que Y et Z dépendent toute les deux d'une même variable aléatoire X d'où la "simple somme".
Modifié en dernier par
Ben314 le 10 Fév 2016, 22:35, modifié 1 fois.
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Utoya
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par Utoya » 10 Fév 2016, 22:27
Ok parfait, merci !
En effet, j'ai "pris peur" pour pas grand chose au final, vu qu'après coup, la solution paraît assez évidente !
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