DM complexes

[Fafnir]

Bonjour, je bloque sur deux questions d'un exercice sur les complexes:

P(z)=z^4+2z^3+3z²+8z-4:

1) Mq que 2i est une racine de P (réussi)

2) Mp que pour tout z appartenant à C, (P(Z)barre)=P(zbarre) (réussi)

3) En déduire, sans calcul, que -2i est aussi une racine de P (réussi)

4) Justifier que P(z) peut se factoriser sous la forme P(z)=(z²+4)(az²+bz+c), puis déterminer les coef a, b et c (pas réussi)

5) En déduire l’ensemble des racines complexes de P (je ne peux pas le faire sans réussir la Q.4)

[Sake]

Bonjour, je bloque sur deux questions d'un exercice sur les complexes:

P(z)=z^4+2z^3+3z²+8z-4:

1) Mq que 2i est une racine de P (réussi)

2) Mp que pour tout z appartenant à C, (P(Z)barre)=P(zbarre) (réussi)

3) En déduire, sans calcul, que -2i est aussi une racine de P (réussi)

4) Justifier que P(z) peut se factoriser sous la forme P(z)=(z²+4)(az²+bz+c), puis déterminer les coef a, b et c (pas réussi)

5) En déduire l’ensemble des racines complexes de P (je ne peux pas le faire sans réussir la Q.4)

Salut,

4) Si tu sais que -2i est une racine de P, tu n'as qu'à écrire que P(z) = (z + 2i)(a'z³ + b'z² + c'z + d')

Seulement, la question 1) te dit que 2i est aussi solution de P(z) = 0, donc il existe trois coefficients a, b et c (ceux de l'énoncé) tels que P(z) = (z + 2i)(z - 2i)(az² + bz + c).
Fini.

[Fafnir]

Mais comment je détermine a, b et c?

Je développe (z²+4)(az²+bz+c)?

J'ai trouvé a=1, b=2 et c=-1 et quand je développe (z²+4)(az²+bz+c) avec les valeurs de a, b et c je retombe bien sur P(z). Merci.

[Fafnir]

Concernant la Q.5, il y a d'autres racines que -2i et 2i?

[Sake]

Concernant la Q.5, il y a d'autres racines que -2i et 2i?

Ben qu'est-ce que te donne az² + bz + c = 0 ?

[Fafnir]

Delta=8 donc pas d'autres solutions complexes.

[mathelot]

Delta=8 donc pas d'autres solutions complexes. non réelles

Le trinome est

[Fafnir]

[mathelot]

simplifier les deux racines réelles par 2

[Fafnir]

Oui exacte, merci pour vos réponses.