Anneaux noethérien

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai une question dans un exercice et je sais pas comment m'y prendre pour prouver tout ça.

Soit un anneau. On suppose qu'il existe un idéal maximal de A tel que tout idéal contenu dans M soit de type fini.
Montrer que si est un idéal de , il existe tel que .
En déduire que est noethérien.

J'avais commencé par faire l'inclusion

Supposons
, alors , alors .

EDIT : C'est peut-être mieux d'avoir un et dire qu'il vaut "un élément de " + "un élément de "

Je sais pas si c'est un bon début, je voulais vos avis

[Robot]

Supposons
, alors , alors

Pourquoi écris-tu ? L'idéal n'a aucune raison d'être contenu dans .

Indication : si alors .

[Ncdk]

Ah oui pardon en effet. Je me suis mit dans la tête que si on a un un idéal maximal, tout idéal de l'anneau en question était inclus dans l'idéal maximal, c'est vrai que y a pas de raison que ça soit comme ça :ptdr:

Pour ton indication je comprends pas pourquoi ça marche, je vois qu'on peut l'écrire sous forme d'idéal engendré. Du style J= par exemple.


EDIT : Ah ouais j'ai compris en fait. x ne doit pas appartenir à M, donc il appartient à A\M, si je dis pas de bêtises, d'ou ta condition sur a.

Puis le fait que M soit maximal et que M est dans J, mais pas à égale J, cet idéal J ce n'est autre que A (car M maximal). Est-ce cela ? :zen:

[Robot]

Oui, tu as compris l'indication. Maintenant, reste à s'en servir pour démontrer ce qui est demandé.

[Ncdk]

Oui, je vois où je dois arriver, mais une étape intermédiaire me fait défaut.

En gros comme on a , il existe un et tel que .

C'est là que ça me gêne, ça m'empêche d'avancer, car il me suffit de prendre , et par la loi "x" on multiplie dans l'équation ci-dessus et après observer ce que l'on obtient, le seul problème est que si j'arrive à :



n'est pas forcément dans .

[Robot]

Qu'est-ce que tu nous fais ? Vois-tu vraiment bien où tu veux arriver ?

Tu veux montrer qu'il existe tel que

Tu peux te débarrasser du cas (il suffit dans ce cas de prendre ).
Tu supposes donc que n'est pas contenu dans . Comment choisir ?

Une remarque : si alors forcément . Mais où cela te mène-t-il ?

[Ncdk]

Qu'est-ce que tu nous fais ? Vois-tu vraiment bien où tu veux arriver ?

Tu veux montrer qu'il existe tel que

Tu peux te débarrasser du cas (il suffit dans ce cas de prendre ).
Tu supposes donc que n'est pas contenu dans . Comment choisir ?

Une remarque : si alors forcément . Mais où cela te mène-t-il ?

Hum... Je prouve d'abord que

Ce que je voulais dire que c'est .
Mais on a tel que et on a car ET car donc .

Du coup on a

[Robot]

Qui est x ?

[Ncdk]

x est un élément de I.

Je me suis mal exprimé, je voulais dire que . Je pense que c'est suffisant, enfin pour cette inclusion, c'est suffisant non ?

[Robot]

Je n'ai pas vu de démonstration de .

D'abord, cette inclusion n'a aucune raison d'être vraie si on prend pour n'importe quel élément de .

J'ai l'impression que tu as du mal à comprendre la quantification existentielle "Il existe tel que ..."

[Ncdk]

Je n'ai pas vu de démonstration de .

D'abord, cette inclusion n'a aucune raison d'être vraie si on prend pour n'importe quel élément de .

J'ai l'impression que tu as du mal à comprendre la quantification existentielle "Il existe tel que ..."

Je me suis embrouillé quelque part !

Déjà avant même de commencer, pour prouver l'inclusion, je dois prendre un élément et montrer qu'il existe qui vérifie une équation tel que "élément de " + "élément de "

Une fois que j'arrive à ce genre chose c'est bon la preuve de l'inclusion telle que sera vérifié.

Mais je reviens en arrière, mon problème est ici :

En gros comme on a , il existe un et tel que .

C'est là que ça me gêne, ça m'empêche d'avancer, car il me suffit de prendre , et par la loi "x" on multiplie dans l'équation ci-dessus et après observer ce que l'on obtient, le seul problème est que si j'arrive à :

On est d'accord jusqu'ici ? (Ne pas tenir compte de ma propre citation bien entendu vu que c'est la ou je bloque)

[Robot]

Déjà avant même de commencer, pour prouver l'inclusion, je dois prendre un élément et montrer qu'il existe qui vérifie une équation tel que "élément de " + "élément de "

Déjà cette phrase montre que tu es complètement perdu dans l'utilisation des quantificateurs. C'est assez embêtant pour les raisonnements.

Tu as à montrer qu'il existe tel que pour tout il existe et tels que .

[MouLou]

Déjà choisi bien ton x, tant que t'auras pas choisi ton x une bonne fois pour toute tu ne montreras rien du tout.

Robot t'a dit que tu peux pas te contenter de le prendre dans I (il faut qu'il vérifie autre chose).

Ensuite, une fois cet x choisi, tu dois montrer que pour tout i dans I, il existe a dans A, j dans , tels que i=ax+j.

"je dois prendre un élément et montrer qu'il existe i qui vérifie une équation tel que i = "élément de xA" + "élément de " ". c'est vraiment pas clair ça, tu parles de deux i distincts en un seul, fin je comprends pas du tout

Concernant ta citation, toute l'erreur vient du fait que tu ne changes pas de a quand tu écris l'égalité d'ensemble en terme d'éléments:

=A s'écrit: pour tout a dans A, il existe a' dans A et m dans M, tels que a=a'x+m. aucune raison pour que a=a'...

[Ncdk]

Déjà cette phrase montre que tu es complètement perdu dans l'utilisation des quantificateurs. C'est assez embêtant pour les raisonnements.

Tu as à montrer qu'il existe tel que pour tout il existe et tels que .

Oui tout à fait, c'est bien le cas, manque de rigueur quand j'écris, que ce soit à l'écrit ou sur un ordi, cela explique de nombreuses choses :ptdr:

Bref, donc reprenons.

(J'ai trouvé ce qui me manquait)

On reprend à partir de .
Notons qui est un idéal, on a alors que qui est équivalent à .

Donc il existe et tels que !

, en multipliant l'équation ci-dessus par , on obtient : .

car .
car et car .
Donc .

Mais j'en reviens toujours à ta question : Qui est x ? Il doit manquer un petit truc qui fait que ça change tout, en tout cas je sais que x n'est pas élément de M, donc c'est un élément de A\M.
Mais je sais pas comment justifier qu'il appartient bien à I.

EDIT : Du coup je peux partir au début en fixant x dans I, pourquoi ça serait faux, vu qu'il est dans A\M, il est possible de le prendre dans I non ? en vérifiant que pour et pour tout , on a , mais sa c'est ok vu que I est un idéal de A.

[Robot]

Toujours ce problème de quantificateur existentiel ! Tant que tu ne maîtrises pas ça, tu te planteras dans tes raisonnements.

Pour montrer "Il existe x tel que P(x)", c'est toi qui a la main : tu peux choisir un x qui t'arrange pour montrer qu'on a bien P(x).

Pour montrer "Pour tout x, P(x)", c'est ton adversaire (le méchant, celui qui peut contester ta démonstration) qui a la main : il peut te proposer n'importe quel x à sa convenance, et tu as l'obligation de lui fournir une preuve de P(x).

Ici, à toi de choisir un x qui fait ce que tu souhaites :
1°) il est dans I et
2°) il vérifie .

[Ncdk]

Ok, donc c'est bien la question que je me posais dans mon EDIT, bon au moins je vais plus hésiter.

Bon du coup c'est ok, après l'autre inclusion est facile.

En prenant x dans I...

Et pour le cas noethérien, je pense que ça n'a pas l'air compliqué, surtout que j'ai vu qu'il y a un "type fini" qui traîne dans l'énoncé, je pense que c'est ça qu'il faut se servir.

Du style :

Soit un idéal de , on a prouvé : Il existe tel que
Comme , est de type fini.

Du coup cet idéal est engendré par une famille finie d'éléments de .
Du coup I est engendré par .
Donc est de type fini

est noethérien.

[Robot]

Pourrais-tu être, pour une fois, précis et écrire explicitement comment tu montres qu'il existe x dans I tel que ?

[Ncdk]

Pour la première inclusion c'est ok, déjà mit plus haut, en rajoutant "Prenons "

Maintenant pour l'autre inclusion :

Soit . Alors .
De plus, car est maximal.
Donc .

Conclusion : Il existe tel que

[Robot]

Pour la première inclusion c'est ok, déjà mit plus haut, en rajoutant "Prenons "

Non, je ne suis pas d'accord pour que tu glisses les arguments sous le tapis. Je veux un argument explicite !!
Choisir n'importe quel x dans I ne marche pas . Alors, dis exactement comment tu choisis x, et ce que tu fais avec.

De plus, car est maximal.

Ca n'a absolument rien à voir avec le fait que M est maximal !

[Ncdk]

Si , alors il faut prendre (Mais ça n'a pas d'intérêt et , donc bon...)
Sinon on prend .

Notons qui est un idéal qui contient M, distinct de M, on a alors que qui est équivalent à .

Donc il existe et tels que !

, en multipliant l'équation ci-dessus par , on obtient : .

car .
car et car .
Donc .

Ca n'a absolument rien à voir avec le fait que M est maximal !

Oui en effet, je refait exactement la même erreur qu'au début.
Mais est forcément inclus dans , sauf si à la limite mais ça c'est pas possible.