Espace Noethérien

[Mimi60]

Bonjour,

J'ai eu cet exercice en colle:

"Montrer que: A et B noethériens SSI AxB noethérien (SSI: si et seulement si)"

je n'arrive pas à montrer que: A et B noethériens implique AxB noethérien (réciproque assez simple).

Pourriez-vous m'aider? Merci d'avance.

MIMI60

[Nightmare]

Salut !

Tu parles d'espace topologique noethérien ou d'anneau?

[Mimi60]

Je parle d'anneau d'ici.

[Nightmare]

Je pense que tu peux utiliser la caractérisation suivante :

M est Noethérien si et ssi pour un sous-module N, N et M/N sont Noethériens.

[Mimi60]

Je pensais plutôt partir de la définition, ce qui correspond plus au cours de Math Spé, i.e. A un anneau commutatif est noethérien SSI toute suite d'idéaux de A croissante au sens de l'inclusion est stationnaire à partir d'un certain rang.

Je crois qu'il faut travailler avec une suite de AxB définie ainsi, puis travailler avec des projections (de AxB vers A et de AxB vers B). Mais je bloque à un moment...

[Ben314]

Ou bloque tu ?
(la démarche avec les projections me semble marcher, MAIS ce n'est pas immédiat car il ne faut pas considérer les deux projection simultanément...)

[Mimi60]

Voici la démarche que j'ai entreprise:

"Supposons que: A et B soient noethériens.

Soit (Jn) une suite d'idéaux de AxB croissante au sens de l'inclusion.

Soient p la projection de AxB sur A parallèlement à B, et q la projection de AxB sur B parallèlement à A.

Soient (an) et (bn) deux suites de AxB telles que:
pour tout n entier naturel, an=p(Jn) & bn=q(Jn).

Alors: (an) (resp. (bn)) est une suite d'idéaux de A (resp. B) croissante au sens de l'inclusion
donc: (an) et (bn) stationnent à p.c.r. (car AxB noethérien)".

Et c'est à partir de là que je bloque: en effet, je pense qu'il suffit de montrer que Jn=anxbn pour pouvoir affirmer que (Jn) stationne à p.c.r., en utilisant notamment le définition d'idéal, mais je n'y arrive pas...

[Ben314]

Je pense qu'il suffit de montrer que Jn=anxbn...

Effectivement, et (contairement à ce que je disait dans mon premier post) cela ne me semble pas trés dur : une inclusion est immédiate et l'autre quasi immédiate (attention à ne pas oublier que Jn ast un idéal de AxB donc stable par la multiplication par tout élément de AxB...)

[abcd22]

Bonsoir,

Je pensais plutôt partir de la définition, ce qui correspond plus au cours de Math Spé,

Pour ton information, c'est une notion qui est complètement hors-programme en math spé, ce n'est même pas une notion « à la limite du programme » qui pourrait être demandée par un examinateur pas au courant des détails du programme à l'X ou aux ENS.

[Mimi60]

Bonjour,

Je sais bien que cette notion n'est pas au programme: c'est pour cela que sa définition m'a été donné au début de ma colle.

Seulement, cette définition faisait référence au programme de spé avec les idéaux, et c'est ce que je voulais dire lorsque je disais vouloir m'en tenir au programme de spé.

Voilà...