[sup] ev noethérien

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 14:46

Bonjour,

je bloque dès la première sous-question d'un DL de maths. Si vous avez envie de vous plonger sur la question, je veux bien de votre aide :)

voici les hypothèses du pb :

K un corps commutatif.
E un espace vectoriel noethérien.
V un sev de E.

Montrer qu'il existe un sev V' de E supplémentaire de V relativement à E.

le prof nous conseille de raisonner par l'absurde en considérant une suite de vecteurs (x_n) de E et une suite (V_n) de sev de E vérifiant les relations V_0 = V et V_(n+1) = V_n + K x_(n+1).

Voilà, l'indication ne me sert pas à grand chose malheureusement ...

merci :]

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 15:08

par l'absurde... :hum: :hum: :hum:

ghghgh a écrit:voici les hypothèses du pb :

K un corps commutatif.
E un espace vectoriel noethérien.
V un sev de E.

Montrer qu'il existe un sev V' de E supplémentaire de V relativement à E.

Pour toi, c'est quoi un E un espace vectoriel noethérien ?

par **Maxmau** » 04 Avr 2009, 15:13

Bj
Les Vn constituent une suite croissante de SEV

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 15:14

la définition qu'on utilise est :
"On dit qu'un espace vectoriel E sur K est noethérien si toute suite croissante (Vn) de sous-espaces vectoriels de E est stationnaire."

lors de la première question, j'ai dû montrer que tout sev d'un ev noethérien est noethérien, si ça peut aider ...

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 15:24

ok, "On dit qu'un espace vectoriel E sur K est noethérien si toute suite croissante (Vn) de sous-espaces vectoriels de E est stationnaire."

Un supplémentaire de V, c'est quoi pour toi ?

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 15:26

Un supplémentaire d'un sev de E, c'est un sev de E tel que:
sev de E + un supplémentaire = E
et intersection (sev de E) et supplémentaire = 0_E.

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 15:31

bon ok.

Si V = E, as-tu un exemple de supplémentaire de V ?

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 15:39

oui 0_E, et dans ce cas il est unique.

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 15:49

impec !!

On suppose

"Vois"-tu un vecteur qui pourrait faire partie d'un supplémentaire de V ? Comment peux-tu choisir un tel vecteur ?

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 15:55

le vecteur nul fait parti d'un supplémentaire de V,
sinon pour en choisir un autre, celui-ci ne doit pas être combinaison linéaire de vecteurs de V

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 16:02

ghghgh a écrit:le vecteur nul fait parti d'un supplémentaire de V,
sinon pour en choisir un autre, celui-ci ne doit pas être combinaison linéaire de vecteurs de V

oui, le vecteur nul... mais je ne pensais pas à celui-ci :id: (mais tu as raison)

Je pensais plutôt à un vecteur qui n'est pas dans V (c'est ta deuxième proposition... dans laquelle "combinaison linéaire" est inutile)

Ok.
Soit x_1 un vecteur de E qui n'est pas dans V

Si E = V + K.x_1, c'est gagné : K.x_1 est un supplémentaire de V.
Sinon V+ K.x_1 n'est égal à E.

"Vois"-tu alors un vecteur x_2 qui pourrait faire partie d'un supplémentaire de V + K.x_1 ? Comment peux-tu choisir un tel vecteur x_2 ?

Tu vois ce qu'il se passe en augmentant les indices ?

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 16:15

le vecteur x_2 doit faire parti de E et ne pas être dans (V + K.x_1)

ensuite en prenant des vecteurs successivement dans E qui conviennent, on a bien une suite de sev croissante, comme E étant noethérien, cette suite doit être stationnaire, donc on ne peut que prendre un nombre fini de vecteurs x_i qui ne soit pas dans Vn mais qui soit dans E, donc E = Vn + K.x_i = V0 + somme de 1 à n des K.(x_i),
où cette somme est le sev supplémentaire.

est-ce ça ?

par **leon1789** » 04 Avr 2009, 19:06

Oui !

(désolé pour le retard, il a fallu que je m'absente)

par **ghghgh** » 04 Avr 2009, 19:45

pas grave, merci pour le coup de main ! :)

[sup] ev noethérien

[sup] ev noethérien

Qui est en ligne