[term] exo sur les suites et fonctions

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 13:54

Coucou tout le monde ! :happy2:
Voila j'ai un devoir libre a faire en maths et je viens chercher de l'aide pour le faire, j'ai l'habitude de venir sur ce forum ou en général l'aide est satisfaisante. Mon objectif comprendre ce que je fais donc je mets l'énoncé et tente de le résoudre tout en écoutant vos propositions pr réussir a le faire. Merci d'avance !!!

Exercice :

1/ on considere la fonction f définie sur R\{-4} par f(x) = (3x+2)/(x+4).
étudier les variations de f ainsi que les limites aux bornes de son ensemble de définition. Représenter graphiquement f ds un repere orthonormé (unité graph 2 cm).

2/ Soit I l'intervalle [1;2]. Montrer que pr tt x E I, f(x) E à I.

3/ On considere la suite (Un) définie par : {U0 = 2 , Un+1 = (3Un+2)/(Un+4) pour tout n E N.
a/ Calculer U1,U2 et U3.
b/ Montrer que pour tout n E N, Un E à I.

4/ En utilisant le graphique précédent, placer les point A0, A1, A2 et A3 d'ordonée nulle et d'abscisse respectives U0, U1, U2 et U3.

5/ Etude des variations de (Un)
a/ 1ere méthode : montrer par récurrence que pr tt n E N : Un+1 < Un.
conclure.
b/ 2eme méthode : montrer que pr tt n E N : Un+1 - Un = ((1-Un)(Un+2))/(Un+4).
conclure.

6/ On considere la suite (Vn) définie par Vn = (Un-1)/(Un +2) pr tt n E N.
a/ montrer que (Vn) est une suite géométrique.
b/ Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n.

Les questions réalisées sont en bleu.

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 14:01

Question 3/a/

U1 = U0+1 = (3*2+2)/(2+4) = 4/3
U2 = U1+1 = 9/8
U3 = U2+1 = 43/41

ok ?! :id:

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 14:43

pour la 5/ b/ on peut pas faire par récurrence si ?
parce que quand je fais l'initialisation pour n=0 ça ne marche pas :
U(0+1) - U0 = -7/8
((1-U0)(U0+2))/(U0+4) = -2/3
dc déjà la propriété n'est pas vrai pr n=0 !

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:05

question 1/

f(x) = (3x+2)/(x+4)
u = 3x+2
u'= 3

v= x+4
v'= 1

f'(x) = (u'v-uv')/v²
= (3*(x+4)-(3x+2))/ (x+4)²
= 10/(x+4)²

tableau de signe :
de -l'infini a +l'infini f'(x) positif dc f(x) croissante

lim f(x) = lim 3x/x = lim 3 = 3
x-> +infini

lim f(x) = lim 3x/x = lim 3 = 3
x-> - infini

lim f(x) = + infini
x--> -4
x<-4

lim f(x) = - infini
x --> -4
x>-4

ok ?! :id:

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:23

Question 5/ a/

P(n) : " Un+1 2

P(n) vraie pour n=0

- hérédité : soit n E N
supposons qur Un+1 < Un ( HR)
montrons que Un+2 < Un+1

-démonstration :
Un+1 < Un
alors 3Un+1 + 2 < 3Un +2
alors (3U(n+1)+2)/(U(n+1)+4) < (3Un+4)/(Un+4)
Un+2 < Un+1

- conclusion :
Quelque soit n E N : Un+1 < Un

c'est ok ??!! :id:

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:26

question 2/
on a prouvé que f' positif donc f strict croissante
si 1<= x <=2
alr f(1) <= f(x) <= f(2)
soit 1 <= f(x) <= 4/3
donc 1 <= f(x) <= 2

ainsi quelque soit x E I alors f(x) E I.

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:27

question 3/a/

U1 = U0+1 = (3*2+2)/(2+4) = 4/3
U2 = U1+1 = 9/8
U3 = U2+1 = 43/41

ok ?! :id:

par **nox** » 27 Sep 2006, 15:27

Attends attends...y'a beaucoup de demandes là et tu as l'air de t'en sortir pas trop mal à priori ;-)

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:29

Question 5/ a/

P(n) : " Un+1 2

P(n) vraie pour n=0

- hérédité : soit n E N
supposons qur Un+1 < Un ( HR)
montrons que Un+2 < Un+1

-démonstration :
Un+1 < Un
alors 3Un+1 + 2 < 3Un +2
alors (3U(n+1)+2)/(U(n+1)+4) < (3Un+4)/(Un+4)
Un+2 < Un+1

- conclusion :
Quelque soit n E N : Un+1 < Un

c'est ok ?! :id:

par **nox** » 27 Sep 2006, 15:33

ok pour 1 et 3a

la 2 t'as rien ?

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:35

:doh: ok je suis désolé moi je voudrais juste savoir si c'est ok... :doh:

par **nox** » 27 Sep 2006, 15:36

ouioui t'inquietes t'excuses pas ce que j'ai vu pour l'instant c'est ok ^^
ca fait plaisir de voir quelqu'un qui n'attend pas qu'on donne la réponse au contraire :happy2:

le 2 pas de réponse ?

par **nox** » 27 Sep 2006, 15:41

haricot29 a écrit:alors 3Un+1 + 2 < 3Un +2
alors (3U(n+1)+2)/(U(n+1)+4) < (3Un+4)/(Un+4)

ca ca me parait pas terrible comme passage !
a < b
c < d

n'entraîne pas que a/c < b/d

je te suggere plutot de partir de la définition de Un+2

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:41

je suis netrain de le chercher

par **nox** » 27 Sep 2006, 15:43

ok et je crois que le 5/a est à revoir aussi

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 15:50

Ok ok comment procéder alr pr 5/a/ ?! :triste:

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 16:02

question 3/b/

P(n) : " Un E I"

- initialisation :
pour n=0
Un = Uo = 2
P(n) est vraie pour n=0

- hérédité : Soit n E N
supposons que Un E I -> HR
Montrons que Un+1 E I

- démonstration :
Un E I
Or Un+1 = f(Un)
on a 1 <= Un <= 2
alors f(1) <= f(Un) <= f(2)
donc 1 <= Un+1 <= 4/3
dc 1 <= Un+1 <=2

- conclusion :
quelque soit n E N : Un E I

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 16:17

Question 5/ b/

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 16:19

Question 5/b/ je vois pas trop comment faire... :hum: :hum:

par **haricot29** » 27 Sep 2006, 16:57

Franchement si il y avait quelqu'un pour m'aider sur la 5/b ce serait cool par contre je reviens sur le forum que en fin de soirée 21h30 et plus je pense !
il me reste plus que 5/b et 6/
Merci de votre aide !!!!

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