Terminale S Suite arithmetico-geometrique

[EternalSnow]

Bonsoir, Je suis en Terminale S, j'aurai besoin de l'aide pour faire un exo :

On considere la suite (Un) definie pour tout n par Uo = 1/3 et Un+1 = Un / 3Un + 1
On admettre que pour tout entier naturel n, Un > 0
1. a) Calculer U1 et U2
b) Cette suite est-elle arithmetique? Est elle geometrique?
2. Montrer que la suite (Un) est decroissante
3. Soit la suite (Vn) definie par Vn = 1/Un
a) Montrer que c'est une suite arithmetique dont on precisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer Vn en fonction de n et montrer que pour tout n, Un = 1/3+3n
c) En utilisant cette derniere expression, retrouver le resultat de la question 2.

Voici mes reponses pour le 1 a et b : (veuillez me signaler si j'ai fais une erreur)

a) u1 = 1/6 et u2 = 1/9
b) u1 - u0 = -1/6 et u2 - u1 = -1/18 alors non arithmetique
u1/u0 = 1/2 et u2/u1 = 2/3 alors non geometrique

Puis pour la question 2 : "Montrer que la suite est decroissante", je ne sais pas comment faut-il faire

Pour la question 3 : pour la a je sais que il faut faire Vn+1 - Vn, seulement je n'arrive pas a trouver le resultat par calcul. Pour b et c je bloque egalement.

Merci d'avance.

[titine]

U(n+1) = U(n )/(3U(n) + 1)

2) U(n+1) - U(n) = U(n)/(3U(n) + 1) - U(n)
= U(n)/(3U(n) + 1) - (U(n)(3U(n) + 1))/(3U(n) + 1)
= (U(n) - 3(U(n))² - U(n))/(3U(n) + 1)
= -3(U(n))²/(3U(n) + 1)
Or -3(U(n))² est négatif et (3U(n) + 1) est positif car on admet que U(n) est positif.
Donc U(n+1) - U(n) < 0
Donc U(n+1) < U(n)
Donc (Un) est décroissante.

3) V(n) = 1/U(n)
V(n+1) - V(n) = 1/U(n+1) - 1/U(n)
= 1/[U(n)/(3U(n) + 1)] - 1/U(n)
= (3U(n) + 1)/U(n) - 1/U(n)
= (3U(n) + 1 - 1)/U(n)
= (3U(n))/U(n)
= 3
Donc V(n+1) = V(n) + 3
Donc (Vn) suite arithmétique de raison 3 et de 1er terme V(0) :
V(0) = 1/U(0) = 3

[EternalSnow]

Je vous remercie enormement!! Il ne me reste plus que le 3 b et c . En tout cas merci encore, bonne soiree

[titine]

3b)
(Vn) suite arithmétique de raison 3 et de 1er terme V0=3 donc V(n) = .....

V(n) = 1/U(n) donc U(n) = ......

[EternalSnow]

Oui c'est bon, c'est parfait, j'ai trouve, je vous remercie encore